描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为
- ;
其中, 是约化普朗克常数, 是粒子的波函数, 是粒子的位置, 是时间。
这薛定谔方程有一个平面波解:
- ;
其中, 是波矢, 是角频率。
将这公式代入薛定谔方程,这两个变数必须遵守关系式
- 。
由于粒子存在的概率等于1,波函数 必须归一化,才能够表达出正确物理意义。对于一般的自由粒子而言,这不是问题。因为,自由粒子的波函数,在位置或动量方面,都是局部性的。
动量的期望值是
- 。
能量的期望值是
- 。
代入波矢 与角频率 的关系方程,可以得到熟悉的能量与动量的关系方程:
- 。
波的群速度 定义为
- ;
其中, 是粒子的经典速度。
波的相速度 定义为
- 。
在量子力学里,一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数以波包函数表示为
- ;
其中,积分区域 是 -空间。
为了方便计算,只考虑一维空间,
- ;
其中,振幅 是量子叠加的系数函数。
逆反过来,系数函数表示为
- ;
其中, 是在时间 的波函数。
所以,知道在时间 的波函数 ,通过傅里叶转换,可以推导出在任何时间的波函数 。
相对论性的自由粒子的量子行为,需要用特别的方程专门描述: