谢尔宾斯基空间

在数学上,谢尔宾斯基空间(Sierpiński space,又称两点连通空间(connected two-point set))是一个包含两个元素的有限拓朴空间,其中只有一个元素是闭合的。[1]这个空间是所有非密着且非离散的拓朴空间中最小的,而这空间以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏为名。

因为谢尔宾斯基空间在斯科特拓朴当中,是开集分类空间(classifying space)之故,因此这集合在可计算性理论语意处理上有重要的应用。[2][3]

定义及基本性质

编辑

谢尔宾斯基空间 是一个其点集合为 的拓朴空间,其所有的开集如下:

 

其所有的闭集如下:

 

也就是说,其单点集 是闭集,而其单点集 是开集,另外此处的 代表空集合。

此空间的闭包如下:

 

一个有限的拓朴空间亦可由其特殊化预序唯一定义,当中,这预序是一个偏序,其形式如下:

 

拓朴性质

编辑

谢尔宾斯基空间 特定点拓朴(particular point topology)(谢尔宾斯基空间的特定点为1)和排除点拓朴(excluded point topology)(谢尔宾斯基空间的排除点为0)的一个特殊例子,因此谢尔宾斯基空间和这两类拓朴空间有许多共通之处。

分离性

编辑
  • 在谢尔宾斯基空间中,0和1这两点是拓扑可区分的,这是因为 是一个只包含这两者其中一点的开集之故,因此谢尔宾斯基空间是一个柯尔莫果洛夫空间 空间)。
  • 然而谢尔宾斯基空间不是一个 空间,这是因为 这个单点集不是闭集之故,也因此谢尔宾斯基空间不是豪斯多夫空间 空间(其中 )。
  • 然而谢尔宾斯基空间不是正则空间完全正则空间,这是因为1这个点及其不相交集合 不能以邻域分离之故(另外点能以邻域分离 空间是豪斯多夫空间)。
  • 然而谢尔宾斯基空间可视为正规空间和完全正规空间,这是因为这空间中没有非空的分离集合所致。
  • 然而谢尔宾斯基空间不是完美正规空间,这是因为其彼此不相交的闭合  无法由函数完全分离所致。事实上,谢尔宾斯基空间的 不能是任何连续函数 的零集(zero set),而这是因为任何这样的连续函数都是常函数所致。

连通性

编辑
  • 谢尔宾斯基空间同时是个超连通空间(Hyperconnected space)(这是因为其所有的非空开集都包含1所致)和特连通空间(Ultraconnected space)(这是因为其所有的非空闭集都包含0所致)。
  • 谢尔宾斯基空间是个连通空间和道路连通空间。
  • 一条连通谢尔宾斯基空间当中的0和1的道路 可定义如次: 且对于所有的 而言 ,这个函数是连续的,因为  是开集。
  • 和所有的有限拓朴空间一样,谢尔宾斯基空间是个局部道路连通空间。
  • 谢尔宾斯基空间是个可压缩空间(contractible space),因此其基本群是个当然群(这点对高阶同伦群(higher homotopy groups)也成立)。

紧致性

编辑
  • 和所有有限拓朴空间一样,谢尔宾斯基空间是个紧致空间第二可数空间
  • 谢尔宾斯基空间的紧子集 不是闭集,而这显示了 空间的紧集不必然是闭集。
  • 任何谢尔宾斯基空间的开覆盖都必然包含谢尔宾斯基空间本身,这是因为谢尔宾斯基空间为0的唯一的开邻域之故,因此任何的谢尔宾斯基空间的开覆盖都有包含一个集合的子覆盖,就是 
  • 而这表示说谢尔宾斯基空间是个满正规空间(fully normal space,仿紧空间的一个子类)。[4]

收敛性

编辑
  • 任何谢尔宾斯基空间当中的序列都收敛至0,这是因为在谢尔宾斯基空间当中,0唯一的邻域是谢尔宾斯基空间本身。
  • 在谢尔宾斯基空间当中一个序列收敛至1,当且仅当该序列仅有有限多项为0。
  • 在谢尔宾斯基空间当中,1是某序列的一个聚集点,当且仅当该序列包含无限多项的1。
  • 例子如下:
    • 1不是 这序列的聚集点。
    • 1是 这序列的聚集点1,但并非极限点。
    •  这序列同时收敛至0和1。

度量化可能性

编辑
  • 谢尔宾斯基空间不是可度量化的空间,甚至也不是可伪度量化的空间,这是因为任何伪度量化的空间都必须是完全正则空间,而谢尔宾斯基空间就连正则空间都不是之故。
  • 谢尔宾斯基空间可由伪拟度量生成,其中  

其他性质

编辑
  • 谢尔宾斯基空间只有三个映至自身的连续函数:恒等函数、两个分别映至0和1的常函数。
  • 而这表示说谢尔宾斯基空间的同胚群(英语:homeomorphism group)是当然群

映至谢尔宾斯基空间的连续函数

编辑

 是一个任意集合,那么一般会将所有从 映至 的函数的集合给记做 ,这些函数即是 指示函数,所有的指示函数都有如下的形式:

 

在其中  的一个子集。换句话说 这个函数的集合和 幂集 间,有着双射的关系。每个 的子集 都有自己的指示函数 ,而每个从 映至 的函数都有如此的形式。

现在假定 是个拓朴空间,而 有着谢尔宾斯基拓朴,那么 是个连续函数,当且仅当  中是个开集;然而根据定义,我们有

 

因此 是个连续函数,当且仅当  中是个开集。

假定 是所有从 映至 的连续函数的集合,并假定  的拓朴(也就是所有开集的集族),那么就存在一个从 映至 的双射,这映射会将 映至 之上。

 

也就是说,假若将  对等,那么其连续映射的子集 会是 的拓朴。

一个特别值得注意的例子是在对偏序集合斯科特拓朴中,谢尔宾斯基空间会在指示函数保持定向连接(directed join)的状况下,成为其开集分类空间[5]

范畴论的描述

编辑

上述的结构可以用范畴论的语言很好地表达。有个从拓扑空间范畴集合范畴的反变函子 将每个拓朴空间 给指派给其开集的集合 ,并将每个连续函数 给指派给其原像

 

而相关叙述如下: 这个函子由 表示,其中 为谢尔宾斯基空间,也就是说, 和同态函子(Hom functor) 间有着自然同构,而这自然同构由泛元素 决定,而这可由预层的概念一般化。[6]

初拓扑

编辑

任何的拓朴空间 都有由映至谢尔宾斯基空间的连续函数的集族 所引致的初拓扑。事实上,若要将 的拓朴变得更加粗糙,那就必须将一些开集给移除;然而若将开集 给移除,那么 这个函数就会变得不连续,因此在 当中的每个函数都连续的情况下, 有着最粗糙的拓朴。

函数的集族 区分 上的点,当且仅当 是个 空间。  这两点可由指示函数 区分,当且仅当开集 包含其中一点但不同时包含两者。这也就是  拓朴可区分的确实含意。

也就是说,若 是个 空间,那就可以将 给嵌入谢尔宾斯基空间的积空间中,在其中对于每个 的开集 而言,都有一个 的复本与之对应。其嵌入函数

 

可由下列函数得出:

 

由于 空间的子空间和积空间还是 空间之故,因此一个拓朴空间是 空间,当且仅当其与谢尔宾斯基空间的积空间的某个子空间同胚

在代数几何中

编辑

在代数几何中,谢尔宾斯基空间会作为 整数在质数 生成的素理想上的局部化)之类的离散赋值环(Discrete valuation ring)  出现。其中 起自零理想一般点(generic point)会对应至开集点1;而 起自极大理想特殊点(special point)会对应至闭集点0。

参见

编辑

注解

编辑
  1. ^ nLabSierpinski space条目
  2. ^ 一篇网络文章解释了为何拓朴学可用在电脑科学中对“概念”的研究之上,详情可见Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics页面存档备份,存于互联网档案馆)》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective页面存档备份,存于互联网档案馆)》,其中的“参照”一节提供了许多网络上关于域理论的文章。
  3. ^ Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004. 
  4. ^ Steen和Seebach二氏错误地认为谢尔宾斯基空间不是满正规空间(或以其术语来说,不是满 空间)。
  5. ^ nLabScott topology条目
  6. ^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102

参考

编辑