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截半大十二面体

在几何学中，截半大十二面体是一种星形均匀多面体，由12个正五边形和12个正五角星组成，可以视为大十二面体或小星形十二面体截去所有顶点所产生的形状。其对偶多面体为内侧菱形三十面体。在抽象理论中，截半大十二面体可以视为五种无法良好具像化的抽象正多面体被部分具象化的结果。截半大十二面体由3个学者独立发现，分别是埃德蒙·赫斯[1]、芭杜欧（Badoureau）[2]和皮奇（Pitsch）[3]。

截半大十二面体
截半大十二面体
类别星形均匀多面体
对偶多面体内侧菱形三十面体在维基数据编辑
识别
名称截半大十二面体
参考索引U36, C45, W73
鲍尔斯缩写
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		Did
数学表示法
威佐夫符号
（英语：Wythoff symbol）		2 | 5 5/2
2 | 5 5/3
2 | 5/2 5/4
2 | 5/3 5/4
性质
面24
边60
顶点30
欧拉特征数F=24, E=60, V=30 （χ=-6）
组成与布局
顶点图5.5/2.5.5/2
顶点布局
（英语：Vertex_configuration）		12{5}+12{5/2}
对称性
对称群Ih, [5,3], *532
图像

5.5/2.5.5/2
（顶点图）

内侧菱形三十面体
（对偶多面体）

性质

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截半大十二面体是一种非凸多面体，由24个面、60条边和30个顶点组成[4]，由于其具有点可递的特性，因此属于均匀非凸多面体之一，这种立体共有53种。在考克斯特、迈克尔·S·朗格·希金斯与杰弗里·查尔斯·珀西·米勒的书《均匀多面体》中，截半大十二面体被编号为U36，其也收录于考克斯特的研究中，并且给予索引编号C45，1983年时，温尼尔在他的书《多面体模型》中列出许多星形多面体模型，其中也收录了此种形状，并给予编号W73[5]。

面的组成

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截半大十二面体由12个正五边形面和12个正五角星面组成。[6]每个顶点都是2个五边形和2个五角星的公共顶点，在顶点图中可以用(5,5/2,5,5/2)表示[7]，其代表着面在顶点周围是以五边形面、五角星面、五边形面、五角星面的方式交错排布。

威佐夫布局

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截半大十二面体有四种威佐夫布局，其代表着四种史瓦兹三角形，其对应的威佐夫记号分别为： 2 | 5 5/2[8]、 2 | 5 5/3、 2 | 5/2 5/4[注 1]以及2 | 5/3 5/4。其虽然在威佐夫记号以不同方式表达，但实际上皆是代表相同的多面体。同理，截半大十二面体在施莱夫利符号中也可以用四种不同的方式表达，他们分别记为： t1{5/2,5}[11]、 t1{5/3,5}、 t1{5/2,5/4}以及t1{5/3,5/4}[12]。在考克斯特记号中，其同样也存在四种形式，分别为：       、        、          以及         。

展开图

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截半大十二面体是一种星形多面体，同时，也能找到对应外观相同的简单多面体[注 2]，其可以透过下列两种形状拼接而成：

 

其中需要12个五角星和20个三个菱形的组合[13]。由于这种结构使用了5个菱形来代替原有星形多面体的正五边形面，因此组合出来的形状部会包含原本就隐没于截半大十二面体中的部分。[14]在这种结构下的截半大十二面体共由12个五角星面和60个菱形组成，且具有72个面、120条边和90个顶点[15]。

用途

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截半大十二面体可以用于辅助建构二元格雷码（英语：Binary Golay code）[6][16]。

相关多面体

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截半大十二面体的凸包为截半二十面体。其与两种立体共用相同的边布局，分别为小十二面半二十面体（英语：small dodecahemicosahedron）与大十二面半二十面体（英语：Great dodecahemicosahedron），其中小十二面半二十面体与截半大十二面体有相同的五角星面，而大十二面半二十面体则是正五边形面与截半大十二面体的正五边形面相同。[17]

 
截半大十二面体 		 
小十二面半二十面体（英语：small dodecahemicosahedron）
 
大十二面半二十面体（英语：Great dodecahemicosahedron） 		 
截半二十面体 (凸包)
 
小星形十二面体根据不同截角深度截去顶点的结果。

截半大十二面体可以由小星形十二面体透过截半变换构造而成：

 
小星形十二面体 		 
较浅的截角小星形十二面体 		 
均匀截角小星形十二面体 		 
截半小星形十二面体

截半大十二面体也可以由大十二面体透过截半变换构造而成[6]。随着截角深度不断加深，最终会变成对偶多面体[18]。而对大十二面体或小星形十二面体而言，截半大十二面体为其截角序列的中间点。[19]

名称 小星形十二面体 截角小星形十二面体 截半大十二面体 截角大十二面体 大十二面体
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）                                        
图像          

拓朴正多面体

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由于截半大十二面体的五角星形面可经由拓朴变形变为五边形面，因此，这种形状在拓朴中相当于四阶五边形镶嵌的商空间。[6][20]下图中的红色与黄色的五边形分别代表拓朴形变前的五角星和正五边形。

 
四阶五边形二十四面体
类别抽象正多面体（英语：Abstract_polytope）
对偶多面体五阶四边形三十面体
数学表示法
施莱夫利符号{5,4}6
性质
面24
边60
顶点30
欧拉特征数F=24, E=60, V=30 （χ=-6）
亏格4
组成与布局
面的种类五边形
对称性
对称群S5， 120元素

此外，截半大十二面体也是一种不存在良好具像化实例的抽象正多面体的部分具像化实例之一[21][22]。在考克斯特于1977年出版的著作《正多胞形（英语：Regular_Polytopes_(book)）》中列出了五种不存在良好具像化实例的抽象正多面体。后来在1987年耶尔格·迈克尔·威利（德语：Jörg Michael Wills）的论文又再次的确定了共存在五种有这种性质的抽象正多面体。[23]这种抽象多面体具有C2×S5对称性，但只能具像化出一半的对称性，即C2×A5或二十面体群对称性。[24][25][26]

截半大十二面体在拓朴学上由24个五边形组成，且每个顶点都是4个五边形的公共顶点，因此在拓朴学上满足抽象正多面体的定义。[24][25][26]然而这种抽象面体若是具象化为截半大十二面体则仅能具象化一半的对称性。这种抽象正多面体可以对应到亏格为4的四阶五边形正则地区图（施莱夫利符号：{5,4}6）[27]，对应的皮特里多边形为六边形[27]。

多面体  
内侧菱形三十面体 		 
截半大十二面体 		 
内侧三角六边形二十面体 		 
双三斜十二面体 		 
凹五角锥十二面体
种类 {4,5}6 {5,4}6 {6,5}4 {5,6}4 {6,6}6
顶点图 {5}, {5/2}
   		(5.5/2)2
  		{5}, {5/2}
   		(5.5/3)3
  		 
面 30个菱形
  		12个五边形
12个五角星
   		20个六边形
  		12个五边形
12个五角星
   		20个六边形
 
镶嵌  
{4, 5} 		 
{5, 4} 		 
{6, 5} 		 
{5, 6} 		 
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

参见

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注释

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  1. ^ 5/4表示顶点5个顶点，每个顶点以相连相隔四个顶点的方式互相连接，换句话说即反连的五边形，有些文献会简写为5[9]。此例部分文献中以2 | 5/2 5/4书写。[10]
  2. ^ 多面体中，若有一个面与同一个多面体中的另一个面相交则称为复杂多面体。其相对概念为简单多面体，该多面体中没引任何一个面与同一个多面体中另外一个面相交。

参考文献

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  1. ^ Hess, Edmund, Vier archimedeische Polyeder höherer Art, Cassel. Th. Kay, 1878, JFM 10.0346.03 
  2. ^ Badoureau, Mémoire sur les figures isoscèles, journal de l´École Polytechnique, 1881, 49: 47–172 
  3. ^ Pitsch, Über halbreguläre Sternpolyheder, Zeitschrift für das Realschulwesen, 1882, 7, JFM 14.0448.01 
  4. ^ Roman E. Maeder. 36: dodecadodecahedron. mathconsult.ch. [2019-09-26]. （原始内容存档于2019-03-18）. 
  5. ^ Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 David A. Richter. The Dodecadodecahedron and the Golay Code. wmich.edu. [2013-05-23]. （原始内容存档于2018-10-18）. 
  7. ^ Augmenting the dodecadodecahedron. orchidpalms.com. [2019-10-24]. （原始内容存档于2016-03-06）. 
  8. ^ Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #41. harel.org.il. [2019-10-24]. （原始内容存档于2009-01-07）. 
  9. ^ Coxeter, The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
  10. ^ great dodecadodecahedron. bulatov.org. [2019-09-06]. （原始内容存档于2017-10-11）. 
  11. ^ Dodecadodecahedron. 国立清华大学. May 18, 2011. 
  12. ^ Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50
  13. ^ Geometric Model by Dick Holl, a Student of A.Harry Wheeler, Dodecadodecahedron. americanhistory.si.edu. [2019-09-26]. （原始内容存档于2019-09-26）. 
  14. ^ Paper Dodecadodecahedron. polyhedra.net. 
  15. ^ Dodecadodecahedron. polyhedr.com. [2019-10-24]. （原始内容存档于2019-09-26）. 
  16. ^ Kythe, D.K. and Kythe, P.K. Algebraic and Stochastic Coding Theory. CRC Press. 2017: pp.151-152. ISBN 9781351832458. 
  17. ^ U. Mikloweit. Did-Facetings. polyedergarten.de. [2019-09-26]. （原始内容存档于2018-11-18）. 
  18. ^ N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  19. ^ Robert Webb. Dodecadodecahedron. software3d.com. [2019-09-26]. （原始内容存档于2019-09-26）. 
  20. ^ Coxeter, H. S. M., Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space (PDF), The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999 [2019-09-26], ISBN 0-486-40919-8, LCCN 99035678, （原始内容存档 (PDF)于2016-06-10） , invited lecture, ICM, Amsterdam, 1954.
  21. ^ The Regular Polyhedra (of index two) （页面存档备份，存于互联网档案馆）, David A. Richter
  22. ^ The Golay Code on the Dodecadodecahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆）, David A. Richter
  23. ^ Wills, Jörg Michael. The combinatorially regular polyhedra of index 2. aequationes mathematicae (Springer). 1987, 34 (2-3): 206––220. 
  24. ^ 24.0 24.1 David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密歇根大学. （原始内容存档于2016-03-04）. 
  25. ^ 25.0 25.1 Regular Polyhedra of Index Two, I （页面存档备份，存于互联网档案馆） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
  26. ^ 26.0 26.1 Regular Polyhedra of Index Two, II （页面存档备份，存于互联网档案馆）  Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
  27. ^ 27.0 27.1 S4:{5,4}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. 

外部链接

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