皮克定理
证明
编辑因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形 ,及跟 有一条共同边的三角形 。若 符合皮克公式,则只要证明 加上 的 亦符合皮克公式(I),与及三角形符合皮克公式(II),就可根据数学归纳法,对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
编辑设 和 的共同边上有 个格点。
- 的面积:
- 的面积:
- 的面积:
三角形
编辑证明分三部分:证明以下的图形符合皮克定理:
- 所有平行于轴线的矩形;
- 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形;
- 所有三角形(因为它们都可内接于矩形内,将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形)。
矩形
编辑设矩形 长边短边各有 , 个格点:
直角三角形
编辑易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等,且 , 相等。设其斜边上有 个格点。
一般三角形
编辑逆运用前面对2个多边形的证明:
既然矩形符合皮克定理,直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P,T符合皮克公式,则 加上 的 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。
于是显然有,只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候,才会使得在直角三角形符合的同时,矩形也符合。
推广
编辑定理提出者
编辑Georg Alexander Pick,1859年生于维也纳,1943年死于特莱西恩施塔特集中营。
相关书籍
编辑- 《格点和面积》 闵嗣鹤著