雙體模型
在統計力學和圖論中,雙體模型(dimer model)是二維空間密鋪的模型,也稱為骨牌密鋪(Domino tiling,多米諾密鋪)或隨機密鋪模型(random tiling model)。這也是平方格子的完美匹配。[1][2][3][4]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a4/Pavage_domino.svg/220px-Pavage_domino.svg.png)
介紹
編輯若有 平方格子G、以及 把骨牌,覆蓋數量或密鋪數量是[5][6][1]
例如:
若G是環面,則
。
阿茲特克鑽石與北極圈現象
編輯Z也依賴格子的邊界(參看阿茲特克鑽石)。
-
阿茲特克鑽石(Aztec diamond)密鋪,有1024個密鋪
-
一個可能的密鋪
阿茲特克鑽石表示所謂的「北極圈的現象」(Arctic circle phenomena),即邊界看起來很同質(冰凍地區),但是中間的「北極圈」不同質(非冰凍地區)。可以使用高度函數解釋這個現象。[7][4]
http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
高度函數
編輯一個密鋪定義一個0微分形式(函數):
s是自旋(參看易辛模型)、v是頂點。那麼可以定義一個1-形式:
這個形式是閉形式。注意上面的形式不等於0因為G是二分圖。也定義密鋪函數
若雙體e存在, ,不然等於0。高度差函數是[7]
這個函數定義一個 的隨機函數。這也是閉形式。的確威廉·瑟斯頓表示了若 真的是密鋪函數,這是一個必要條件。h是高度函數。
NxN平方格子的高度函數在中間逼近O(N)。但是阿茲特克鑽石的高度函數逼近h的平均值。[7]的確,CKP定理[7]說h最小化一個熵(或熱力學自由能)的泛函(變分法):
共形場論
編輯高斯自由場
編輯雙體模型的縮放極限(即高度函數的縮放極限是高斯自由場)[7],高斯自由場是一種二維布朗運動。所以 成為二維純量場。
若G是一定的加權圖,[7]K的縮放極限是反全純導數 。[1] 若
f是「反全純函數」。再說 f 是調和函數(和諧函數)。這是因為 是調和矩陣(harmonic matrix)。[7]
非冰凍地區描述一個極限形(limit shape),比如這張文章描述一個心臟線:[1](跟代數幾何有關)。高斯自由場也許描述這些極限形。2020年這還是未解決的問題。
數學家知道極限形滿足一個類似伯格斯方程( )的橢圓型偏微分方程。這些極限形可以相似極小曲面的魏爾斯特拉斯-恩內佩爾參數化。[1]
傳播子
編輯
是傳播子(量子場論)。[7] 可以表示這等於狄利克雷問題的核子
相關條目
編輯其他骨牌模型
參考文獻
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閱讀
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