取整函數

在數學和電腦科學中，取整函數是一類將實數對映到相近的整數的函數。

下取整函數

上取整函數

常用的取整函數有兩個，分別是下取整函數（英語：floor function）和上取整函數（ceiling function）。

下取整函數即為取底符號，在數學中一般記作$[x]$或者$\lfloor x\rfloor$或者$E(x)$，在電腦科學中一般記作floor(x)，表示不超過x的整數中最大的一個。

$[x]=\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.$

舉例來說，$[3.633]=3$，$[56]=56$，$[-2]=-2$，$[-2.263]=-3$。對於非負的實數，其下取整函數的值一般叫做它的整數部分或取整部分。而$x-[x]$叫做x的小數部分。每個分數都可以表示成其整數部分與一個真分數的和，而實數的整數部分和小數部分是與此概念相應的拓延。

下取整函數的符號用方括號表示（$[x]$），稱作高斯符號，首次出現是在卡爾·弗里德里希·高斯的數學著作《算術研究》。

上取整函數即為取頂符號在數學中一般記作$\lceil x\rceil$，在電腦科學中一般記作ceil(x)，表示不小於x的整數中最小的一個。

$\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid x\leq n\}.$

舉例來說，$\lceil 3.633\rceil =4$，$\lceil 56\rceil =56$，$\lceil -2\rceil =-2$，$\lceil -2.263\rceil =-2$。

電腦中的上取整函數和下取整函數的命名來自於英文的ceiling（天花板）和floor（地板），1962年由肯尼斯·艾佛森於《A Programming Language》引入。

性質

對於高斯符號，有如下性質。

• 按定義：

  $[x]\leq x<[x]+1$ 若且唯若x為整數時取等號。

• 設x和n為正整數，則：

  $\left[{\frac {n}{x}}\right]\geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}$

• 當n為正整數時，有：

  $\left\lbrack {\frac {x}{n}}\right\rbrack ={\frac {x-x{\bmod {n}}}{n}},$ 其中$x{\bmod {n}}$表示$x$除以$n$的餘數。

• 對任意的整數k和任意實數x，

  $[{k+x}]=k+[x].$

• 一般的數值修約規則可以表述為將x對映到floor(x + 0.5)；
• 高斯符號不是連續函數，但是上半連續的。作為一個分段的常數函數，在其導數有定義的地方，高斯符號導數為零。
• 設x為一個實數，n為整數，則由定義，n ≤ x若且唯若n ≤ floor(x)。
• 當x是正數時，有：

  $\left\lbrack 2x\right\rbrack -2\left\lbrack x\right\rbrack \leqslant 1$

• 用高斯符號可以寫出若干個質數公式，但沒有什麼實際價值，見§ 質數公式。
• 對於非整數的x，高斯符號有如下的傅立葉級數展開：

  $[x]=x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.$

• 根據Beatty定理，每個正無理數都可以通過高斯符號製造出一個整數集的分劃。
• 最後，對於每個正整數k，其在 p 進制下的表示有 $[\log _{p}(k)]+1$ 個數位。

函數間之關係

由上下取整函數的定義，可見

$\lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,$

等號若且唯若$x$為整數，即

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

實際上，上取整與下取整函數作用於整數$n$，效果等同恆等函數：

$\lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.$

自變數加負號，相當於將上取整與下取整互換，外面再加負號，即：

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0,\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil ,\\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor .\end{aligned}}$

且：

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\-1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

至於小數部分$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$，自變數取相反數會使小數部分變成關於1的「補數」：

$\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

上取整、下取整、小數部分皆為冪等函數，即函數疊代兩次的結果等於自身：

${\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}$

而多個上取整與下取整依次疊代的效果，相當於最內層一個：

${\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor ,\end{aligned}}$

因為外層取整函數實際衹作用在整數上，不帶來變化。

商

若$m$和$n$為正整數，且$n\neq 0$，則

$0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.$

若$n$為正整數，則

$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,$

$\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .$

若$m$為正數，則

$n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,$

$n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .$

代$m=2$，上式推出：

$n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .$

更一般地，對正整數$m$，有埃爾米特恆等式：

$\lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,$

$\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .$

對於正整數$m$，以下兩式可將上下取整函數互相轉化：

$\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,$

$\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.$

對任意正整數$m$和$n$，有：

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},$

作為特例，當$m$和$n$互質時，上式簡化為

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).$

此等式可以幾何方式證明。又由於右式關於$m$、$n$對稱，可得

$\left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .$

更一般地，對正整數$m,n$，有

${\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}$

上式算是一種「互反律」（reciprocity law），與§ 二次互反律有關。

應用

二次互反律

高斯給出二次互反律的第三個證明，經艾森斯坦修改後，有以下兩個主要步驟。

設$p$、$q$為互異奇質數，又設

$m={\frac {p-1}{2}},$ $n={\frac {q-1}{2}}.$

首先，利用高斯引理，證明勒壤得符號可表示為和式：

$\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },$

同樣

$\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.$

其後，採用幾何論證，證明

$\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.$

總結上述兩步，得

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

此即二次互反律。一些小整數模奇質數$p$的二次特徵標，可以高斯符號表示，如：

$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },$

$\left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.$

質數公式

下取整函數出現於若干刻畫質數的公式之中。舉例，因為$\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor$在$m$整除$n$時等於$1$，否則為$0$，所以正整數$n$為質數若且唯若

$\sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.$

除表示質數的條件外，還可以寫出公式使其取值為質數。例如，記第$n$個質數為$p_{n}$，任選一個整數$r>1$，然後定義實數$\alpha$為

$\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.$

則衹用取整、冪、四則運算可以寫出質數公式：

$p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .$

類似還有米爾斯常數$\theta =1.3064\ldots$，使

$\left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots$

皆為質數。

若不疊代三次方函數，改為疊代以$2$為㡳的指數函數，亦有$\omega =1.9287800\ldots$使

$\left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots$

皆為質數。

以質數計算函數$\pi (x)$表示小於或等於$x$的質數個數。由威爾遜定理，可知

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .$

又或者，當$n\geq 2$時：

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .$

本小節的公式未有任何實際用途。

其它等式

• 對於所有實數x，有：

  $\left\lbrack {\frac {x}{2}}\right\rbrack ={\frac {1}{4}}((-1)^{[x]}-1+2[x])$

  $\left\lbrack {\frac {x}{3}}\right\rbrack ={\frac {-2}{\sqrt {3}}}\sin({\frac {2\pi }{3}}[x]+{\frac {\pi }{3}})+1$

• 設x為一個實數，n為整數，則

$\sum _{k=0}^{n-1}E(x+{\frac {k}{n}})=E(nx)$

$E({\frac {1}{n}}E(nx))=E(x)$

• 對於兩個相反數的高斯符號，有：

如果x為整數，則$E(x)+E(-x)=0$

否則$E(x)+E(-x)=-1$

參考來源

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer. 2001 [2022-02-06]. ISBN 0-387-94777-9. （原始內容存檔於2022-04-09）. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading Ma.: Addison-Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition). Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Lemmermeyer, Franz. Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3-540-66957-4. 
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer. 1996. ISBN 0-387-94457-5. 

另見

截尾函數