德布羅意方程組

此條目介紹的是德布羅意方程組本身。關於具體物理學闡釋，請見「物質波」。

德布羅意方程組是描述物質波的方程組，其描述了波長 $\lambda$ 與動量 $p$、頻率 $\nu$ 與總能 $E$ 之間的關係。
路易·德布羅意受光的波粒二象性啟發，認為微觀粒子也有波粒二象性。描述波的物理量為頻率、波長；而描述粒子的物理量為能量、動量，德布羅意方程便將這兩組物理量聯繫在一起。

德布羅意方程組 （The de Broglie Relations）

德布羅意方程組：
$p=\hbar k$
$E=\hbar \omega$
其中
$\hbar =h/2\pi$ 為約化普朗克常數
$k$ 為波數
$\omega =2\pi \nu$ 為角頻率
於是可以得到另一種表示方式：
$p=h/\lambda$
$E=h\nu$

方程推導

本段落描述的推導是諸多合法的推導的其中一種，它以質能方程和普朗克關係式為基礎，進行替換和變形得到結果。
首先，引入愛因斯坦的質能方程： $E=mc^{2}$ 然後，引入普朗克關係式：
$E=h\nu$
德布羅意認為粒子與波具有相同的特性（即在物質世界的量化描述中二者可以被視作是同一的），所以他假設二者的效能是等同的：
$mc^{2}=h\nu$
由於實際粒子並非以真空光速游動，所以德布羅意用 v 代替 c (光速)，得到
$mv^{2}=h\nu$
代入 $v/\lambda =\nu$，得到：
$mv^{2}=hv/\lambda$
這便是為波長與粒子速度的關係式。

於是有：
$\lambda =hv/mv^{2}=h/mv=h/p$
因此得出：
$p=h/\lambda$

低速近似

上述推導是普適的（理論上的），然而在微觀低速的情況下，人們難以直接得到微粒的動量，因此也難得微粒的德布羅意波長λ。
幸運的是，我們可知在低速條件下有E=p²/2m，
所以此時德布羅意波長可以由動能和微粒質量表示出
λ=${{h} \over {p}}$=${{h} \over {\sqrt {2mE}}}$