德布罗意方程组

此條目介紹的是德布羅意方程組本身。关于具體物理學闡釋，请见「物質波」。

德布羅意方程組是描述物質波的方程組，其描述了波长 $\lambda$ 与动量 $p$、频率 $\nu$ 与总能 $E$ 之间的关系。
路易·德布羅意受光的波粒二象性启发，认为微观粒子也有波粒二象性。描述波的物理量为频率、波长；而描述粒子的物理量为能量、动量，德布罗意方程便将这两组物理量联系在一起。

德布罗意方程组 （The de Broglie Relations）

德布罗意方程組：
$p=\hbar k$
$E=\hbar \omega$
其中
$\hbar =h/2\pi$ 為約化普朗克常數
$k$ 為波数
$\omega =2\pi \nu$ 為角频率
於是可以得到另一种表示方式：
$p=h/\lambda$
$E=h\nu$

方程推导

本段落描述的推导是诸多合法的推导的其中一种，它以质能方程和普朗克關係式为基础，进行替换和变形得到结果。
首先，引入爱因斯坦的质能方程： $E=mc^{2}$ 然后，引入普朗克關係式：
$E=h\nu$
德布罗意認為粒子与波具有相同的特性（即在物质世界的量化描述中二者可以被视作是同一的），所以他假设二者的效能是等同的：
$mc^{2}=h\nu$
由于实际粒子并非以真空光速游动，所以德布罗意用 v 代替 c (光速)，得到
$mv^{2}=h\nu$
代入 $v/\lambda =\nu$，得到：
$mv^{2}=hv/\lambda$
这便是為波长与粒子速度的关系式。

于是有：
$\lambda =hv/mv^{2}=h/mv=h/p$
因此得出：
$p=h/\lambda$

低速近似

上述推导是普适的（理论上的），然而在微观低速的情况下，人们难以直接得到微粒的动量，因此也难得微粒的德布罗意波长λ。
幸运的是，我们可知在低速条件下有E=p²/2m，
所以此时德布罗意波长可以由动能和微粒质量表示出
λ=${{h} \over {p}}$=${{h} \over {\sqrt {2mE}}}$