柯西-施瓦茨不等式

在許多不同的設置中遇到的有用的不等式,例如線性代數,分析,概率論,向量代數和其他領域。 它被認為是所有數學中最重要的不等式之一

柯西-施瓦茨不等式(英語:Cauchy–Schwarz inequality),又稱施瓦茨不等式柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式柯西不等式,在多個數學領域中均有應用的不等式;例如線性代數矢量數學分析無窮級數和乘積的積分,和機率論變異數共變異數。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣,如赫爾德不等式

不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy),赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz),和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基英語Viktor_Bunyakovsky(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

敘述

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  是個複內積空間,則對所有的   有:

(a)  
(b)     存在   使  

證明請見內積空間#範數

特例

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Rn-n維歐幾里得空間

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歐幾里得空間Rn,有

 

等式成立時:

 

也可以表示成

 

證明則須考慮一個關於 的一個一元二次方程式  

很明顯的,此方程式無實數或有重根,故其判別式 

注意到

 

 

 

 

 

 

而等號成立於判別式 

也就是此時方程式有重根,故

 

 

這兩例可更一般化赫爾德不等式

 
這是
 
n=3 時的特殊情況。

對於平方可積複值函數的內積空間,有如下不等式:

 

赫爾德不等式是該式的推廣。

矩陣不等式

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 列向量,則 [a]

  時不等式成立,設 非零, ,則 
 
 
等號成立  線性相依

  Hermite陣,且 ,則 

存在 ,設 
 
 
 
等號成立  線性相依

  Hermite陣,且 ,則 

存在 ,設 
 
 
 
等號成立  線性相依[1]

 ,則 [2]

複變函數中的柯西不等式

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 在區域 及其邊界上解析,  內一點,以 為圓心做圓周  ,只要 及其內部 均被 包含,則有:

 

其中,M是 的最大值, 

其它推廣

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 [3]

 [4]

參見

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注釋

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  1. ^  表示x的共軛轉置

參考資料

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  1. ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版). 
  2. ^ 程偉麗 齊靜. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 鄭州輕工業學院學報(自然科學版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-08). 
  3. ^ 趙明方. Cauchy不等式的推广. 四川師範大學學報(自然科學版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-03). 
  4. ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖師範學院學報. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-03).