對歐幾里得空間Rn,有
- 。
等式成立時:
-
也可以表示成
證明則須考慮一個關於 的一個一元二次方程式
很明顯的,此方程式無實數解或有重根,故其判別式
注意到
⇒
則
即
而等號成立於判別式 時
也就是此時方程式有重根,故
- 。
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
- 。
- 這是
-
- 在n=3 時的特殊情況。
對於平方可積複值函數的內積空間,有如下不等式:
赫爾德不等式是該式的推廣。
設 為列向量,則 [a]
- 時不等式成立,設 非零, ,則
-
-
- 等號成立 與 線性相依
設 為 Hermite陣,且 ,則
- 存在 ,設
-
-
-
- 等號成立 與 線性相依
設 為 Hermite陣,且 ,則
- 存在 ,設
-
-
-
- 等號成立 與 線性相依[1]
若 ,則 [2]
[3]
[4]
- ^ 表示x的共軛轉置。
- ^ 王松桂. 矩阵不等式-(第二版).
- ^ 程偉麗 齊靜. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 鄭州輕工業學院學報(自然科學版). 2008, (4) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-08).
- ^ 趙明方. Cauchy不等式的推广. 四川師範大學學報(自然科學版). 1981, (2) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-03).
- ^ 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖師範學院學報. 1993, (S1) [2015-03-24]. (原始內容存檔於2019-06-03).