記數系統
記數系統(numeral system,system of numeration)又稱記數法、記數制度、數制,是使用一組數字符號來表示數的體系。記數可以俗稱為「寫數」,以區別同音詞計數。
一個理想的記數系統能夠:
記數系統可以按照以下方式分類:
歷史
編輯在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化,包括古代印第安人,使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。
在公元前8000年至前3500年間,蘇美爾人發明了使用粘土保留數字信息。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前3500年開始,粘土記號逐漸被數字符號取代。這些數字符號是使用圓的筆針刻在粘土塊上,然後燒制而成的。大約前3100年,數字符號與被計數的事物分離,成為抽象的符號。在前2700年至前2000年間,圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代,這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數字和圓形數字相似,並保留了符號數值記數法。這些記數系統逐漸演變成了一種常見的六十進制系統。這個系統是一種位置數值記數法,只使用豎向的楔形和人形兩種符號,而且能夠表示分數。這個系統在古巴比倫的初期(大約前1950年)得到了充分的發展,並成為巴比倫尼亞的標準。
上述六十進制系統是一種混合進位制系統,它的一個符號序列的不同位置上使用10和6兩個基數。這個系統被廣泛地應用於商業,同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統從巴比倫尼亞輸出,並傳遍了美索不達米亞,包括希臘,羅馬和埃及。今天,我們仍然用它來計算時間(1小時=60分鐘)和角度(1度=60分)。
中國古代採用算籌記數,個位百位萬位等奇數位用縱籌,偶數位用橫籌,零用空位表示。有時,軍隊人數和供給品記數採用質數的算籌,並按照模算術運算。(參看:大衍求一術,中國剩餘定理)。模算術的好處在於,儘管其加法相對困難,但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現代,同樣的模算術有時用於數位訊號處理。
羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符,大致遵從希臘人將字母對應不同數的習慣。羅馬數字在歐洲被普遍使用,直到1500年代進位制開始流行。
中美洲的瑪雅數字採用20或18[來源請求]為基數的系統,可能繼承自奧爾梅克文明,它包含了位置數值記數法和零這樣的高級屬性。他們將此用於高級的天文計算,包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。
印加帝國採用奇普,一種打結的帶顏色的繩子來記數。關於使用結和顏色來編碼的知識被西班牙征服者於16世紀所擯棄,並因此失傳。今天,簡單的結繩工具仍在安地斯山脈地區使用。
有些權威認為數位算術隨著中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數位記錄似乎是大約400年的算盤計算的結果。特別在大約932年,零已被中國數學家正確地表述了,並且似乎是因為採用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產生的。
在印度,現代數位數字系統被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起,這一系統被一位印度大使在約773年帶到巴格達。對於印度的數字系統的詳細討論,參看阿拉伯數字和印度數字。[1]
從印度出發,伊斯蘭蘇丹們和非洲的旺盛貿易將此數字系統的概念帶到了開羅。阿拉伯數學家們將此系統推廣到十進制分數。在9世紀,花拉子密寫下了關於該系統的重要著作。隨著12世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在1201年的出版,該系統傳入歐洲。在歐洲,完整的帶零的印度系統是於12世紀由阿拉伯人帶來的。
二進制系統由萊布尼茲在17世紀傳播,萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念,並在閱讀中國的《易經》再次鞏固了這一想法。由於計算機的使用,二進制系統在20世紀變得更加普遍。
常用基數
編輯二
編輯基數為2的系統(二進制)的流行及應用主要是因為電子計算機的發明。以2為基數,也代表只有兩種變化:不是1就是0。最初的電子計算機以開關電路組成,只有兩種狀態:開(1)及關(0),並以此引申作各種複雜的邏輯變化。而現今二進制亦普遍使用於數碼影音系統中。
八
編輯基數8的系統(八進制)是北加利福尼亞的Yuki部落設計的,他們使用了手指間的間隔來數數。也有語言學證據顯示青銅時代印歐人(多數歐洲和印度語言來源於此)可能用基數10的系統取代了基數8系統(或者一個只能數到8的系統)。證據是代表9的詞,newm,根據一些歷史學家推測來源於「新」('new', newo-),這表示數字9是當時最近發明的,所以稱為『新數』('new number') (Mallory & Adams 1997年)。
九
編輯涅涅茨語曾經使用基數9的系統(九進制),但在俄語的影響下轉變為十進制。yúq一詞最初表示9,但在俄語影響下變成了10的意思;所以在現在的涅涅茨,9現在是xasu-yúq,也就是「涅涅茨yúq」,而10就是yúq,但在東部方言中也作lúca-yúq, 也就是「俄語yúq」。
十
編輯十進制是今天最為常用的系統。它被視為因為人類具有十根手指而產生。
十二
編輯基數12的系統(十二進制)曾經很流行,因為乘法和除法比十進制方便,而加法同樣簡單。12很有用,因為它有很多因子。它是1到4最小的公倍數。我們對十二有一個特殊的詞「打」(dozen),並且使用12小時作為一個白天或者一個黑夜。十二進制來自於一隻手除了拇指以外的四個手指的指節個數,它們曾被用來記數。
十六
編輯基數為16的系統(十六進制)曾經在中國的重量單位上使用過,比如,規定16兩為一斤。現在的16進位則普遍應用在電腦領域,這是因為將二進位數字轉化為十六進位數字非常容易,用十六進位表達數字比用二進制方便。1位元組(一個8個位的二進位數字)可以很方便的表示成一個兩個位的16進位數字。
二十
編輯瑪雅文明和其它前哥倫布時期中美洲文明使用二十進制、因努伊特的因努伊特數字,源於人的手指和腳趾總數。
六十
編輯基數為60的系統(六十進制)是蘇美爾人和他們在美索不達米亞的繼承者所使用的,今天還在我們的計時系統中存在(所以一小時有60分鐘而一分鐘有60秒)。60也有大量因子,包括前六個自然數。六十進制系統被認為是因為十進制和十二進制合併過程中產生的。中國曆法中,六十進制的甲子系統用於表示年,每個60年循環中的年用兩個符號代表,第一個符號是十進制的天干,第二個符號是十二進制的地支。兩個符號在後續一年中同時前進一,這樣同樣的組合在60年後再現。該系統的第二個符號也和12個動物的生肖系統對應。
進位制詳解
編輯在「基數 」的「位置記數系統」(其中 是一個正自然數,叫做基數)中, 個「基本符號」(或稱數字)對應於包括0的 最小 個自然數。 要產生其他的數,必須變動這些基本符號在數中的位置。最後一位的符號用它本身的值,向左一位其值乘以 。
例如,在十進制系統中(基數10),數 4327 表示 (4×103) + (3×102) + (2×101) + (7×100),注意 = 1。
一般來講,若 是基底,我們在 進制系統中的數表示為 1 k + 2 k-1 + 3 k-2 + ... + k+1 0的形式,並按次序寫下數字 1 2 3 ... k+1。這些數字是 0 到 -1 的自然數。
若一段文字(譬如這段文字)討論多個基數,若有歧義時,基數(本身用十進制表示)用下標方式寫在數的右邊。除非有上下文說明,沒有下標的數字視為十進制。
通過使用一點(小數點)來將數字分成兩組,就可以用位置系統來表示小數。例如,基數-2系統 10.11 表示1×21+ 0×20 +1×2-1 +1×2-2 = 2.75。
一般來講, 進制系統中的數有如下形式:
數 和 是相應數字的 比重。
注意有一個數有一個終止或者循環若且唯若它是有理數;這不依賴於基數的選擇。在一個進制中終止的數可以在另外一個有循環小數(thus 0.310 = 0.0100110011001...2)。一個無理數在所有進制中不循環(無窮位不循環數字)。這樣,例如二進制中,π = 3.1415926...10 可以寫作不循環的 11.001001000011111...2。
進制轉換
編輯轉換正整數的進制的有一個簡單算法,就是通過用目標基數作長除法;餘數給出從最低位開始的「數字」。例如,1020304從10進制轉到7進制:
1020304 / 7 = 145757 r 5 ↑ => 11446435 145757 / 7 = 20822 r 3 │ 20822 / 7 = 2974 r 4 │ 2974 / 7 = 424 r 6 │ 424 / 7 = 60 r 4 │ 60 / 7 = 8 r 4 │ 8 / 7 = 1 r 1 │ 1 / 7 = 0 r 1 │
再如,10110111 從2進制到5進制:
10110111 / 101 = 100100 r 11 (3) ↑ => 1213 100100 / 101 = 111 r 1 (1) │ 111 / 101 = 1 r 10 (2) │ 1 / 101 = 0 r 1 (1) │
轉換一個「十進制」小數,可以用重複乘法,將整數部分作為「數字」。不幸的是有限小數不一定轉換成為有限小數,例如0.1A4C從16進制轉換到9進制:
0.1A4C × 9 = 0.ECAC │ 0.ECAC × 9 = 8.520C │ 0.520C × 9 = 2.E26C │ 0.E26C × 9 = 7.F5CC │ 0.F5CC × 9 = 8.A42C │ 0.A42C × 9 = 5.C58C ↓ => 0.082785...a
一般化變長整數
編輯更一般化的有一種記法(這裡寫作小頭式),例如 0 1 2 用作 0 + 1 1 + 2 1 2, etc.
註釋
編輯- ^ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski. The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company. 1911.
參考文獻
編輯- Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3
- 高德納. 《電腦程式設計藝術》. Volume 2, 3rd Ed. Addison-Wesley. pp.194–213, "Positional Number Systems".
- J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
- A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
- Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund. Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University Of Chicago Press. 1993. ISBN 978-0-226-58659-5.
- Schmandt-Besserat, Denise. How Writing Came About. University of Texas Press. 1996. ISBN 978-0-292-77704-0.
- Zaslavsky, Claudia. Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. 1999. ISBN 978-1-55652-350-2.nd}}
參見
編輯外部連結
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