調和級數

發散無窮級數的一種

調和級數(英語:Harmonic series)是正整數的倒數之和,是發散的無窮級數,表達式為:

無窮級數
無窮級數

這級數名字源於泛音泛音列[註 1]:振動的弦的泛音的波長依次是基本波長……等。調和序列中,第一項之後的每一項都是相鄰兩項的調和平均數;而「調和平均數」一詞同樣也源自音樂。

歷史

編輯

早在14世紀,尼克爾·奧里斯姆已經證明調和級數發散,但知道的人不多。17世紀時,皮耶特羅·曼戈里義大利語Pietro Mengoli約翰·伯努利雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

調和序列歷來很受建築師重視;在巴洛克時期尤其明顯。當時建築師在建造教堂和宮殿時,運用調和序列為樓面布置和建築物高度建立比例,並使室內外的建築細節間呈現和諧的聯繫。[1]

佯謬

編輯
 
只要有足夠多的骨牌,最頂層骨牌離最底層的距離就可以無窮遠。可以發現,圖中骨牌排列的形狀就像順時針旋轉90°的對數函數,也即函數y=1/x不定積分

對剛接觸這級數的人而言,調和級數違反直覺——儘管隨 不斷增大, 無限接近0,但它卻是發散級數。調和級數也因此成為一些佯謬的原型。「橡皮筋上的蠕蟲」就是其中一例。[2]假設蠕蟲沿著1公尺長的橡皮筋爬行,而橡皮筋每分鐘勻速伸展1公尺。如果相對於其所在的橡皮筋,蠕蟲的爬行速度是每分鐘1公分,那麼它最終會到達橡皮筋的另一頭嗎?與直覺相反,答案是肯定的: 分鐘之後,蠕蟲爬行過的距離與橡皮筋總長度的比值為:

 

調和級數發散(證明見本條目「發散」一節),即 趨於無窮大時級數也趨於無窮大,這比值也必定在某時刻超過1;也就是說,蠕蟲最終一定會到達橡皮筋另一頭。然而,在這時刻的n的值極其之大,約為 ,超過1040(1後面有40個零)。這也說明了,儘管調和級數確確實實是發散,但它發散的速度非常慢。

另一例:假設有一堆完全相同的骨牌,可以肯定的是,它們可以疊在一起,並使得每塊骨牌都突出其下方骨牌外一定長度,最終使得最上層的骨牌完全在最底層骨牌以外甚至更遠。違反直覺的是,只要骨牌夠多,就可以使最上層的骨牌與最底層骨牌水平距離無窮遠。[2][3]較簡單的證明如下:

設每一塊骨牌的長度為 。再設一疊 塊平衡的骨牌的質心與最底層骨牌最右端的距離為 ;在只有1塊骨牌時,質心就在骨牌的幾何中心(假設骨牌密度均勻),即 。對於一疊剛好平衡的骨牌(即對於任意一層骨牌,在其之上的骨牌的質心恰好落在其邊際),新骨牌不置於其上方(否則使得質心往右偏移而倒塌),而是墊在整疊骨牌之下,並使得原有骨牌的質心剛好落在新骨牌的最左端(則原來的骨牌不會倒塌);設從上往下第n層骨牌突出其下方骨牌的長度為 ,則有: 。根據質心的坐標系計算公式,可得到新的骨牌疊的質心為:

 

 ,即 

也就是說,理想的擺法是:最頂層骨牌與第二層之間水平距離是骨牌長度的 ,第二、三層間水平距離是骨牌長度的 ,第三、四層之間水平距離是骨牌長度的 ……依此類推。最終,最頂層和最底層骨牌的水平距離是:

 

調和級數發散,當骨牌數目 趨於無窮大時,水平距離也趨於無窮大。

發散

編輯

比較審斂法

編輯
 
 
 
 

因此該級數發散。

積分判別法(integral test)

編輯
 

將調和級數的和與一個瑕積分比較可證此級數發散。考慮右圖中長方形的排列:長方形寬1單位、高 單位(換句話說,每個長方形的面積都是 ),所有長方形的總面積就是調和級數的和:

矩形面積和

 

而曲線 以下、從1到正無窮部分的面積由以下瑕積分給出:

曲線下面積

 。這部分面積真包含於(換言之,小於)長方形總面積,長方形的總面積也必定趨於無窮。更準確說,這證明了

 

這方法的拓展即積分判別法

反證法

編輯

假設調和級數收斂 , 則 

但與 矛盾,故假設不真,即調和級數發散。

發散率

編輯

調和級數發散的速度非常緩慢。舉例來說,調和序列前1043項的和還不足100。[4]調和數列的部分和呈對數增長。特別地,

 

其中 歐拉-馬歇羅尼常數,而 約等於 ,並且隨著 趨於正無窮而趨於 。這結果由歐拉給出。

當然無論調和級數發散率再怎樣低,其都不是發散率最慢的級數,仍存在發散率比調和級數更低的級數。理論上沒有發散率「最慢」的發散性級數和。

部分和

編輯

調和級數的第 部分和為:

 

也叫作第n個調和數

第n個調和數與 自然對數的差值(即 )收斂於歐拉-馬歇羅尼常數

兩個不同的調和數之間的差值永遠不是整數。

除了 以外,沒有任何調和數是整數。[5]

相關級數

編輯

交錯調和級數

編輯
 
此圖顯示,交錯調和級數的前14項部分和(圖中黑色線段)收斂於2的自然對數(紅色直線)。

如下級數:

 

稱作交錯調和級數。這級數可經交錯級數判別法證明收斂。特別地,這級數的和等於2的自然對數

 

這公式是墨卡托級數(自然對數的泰勒級數形式)的特例。

反正切函數的泰勒展開式可導出相關級數:

 

這級數也稱作π的萊布尼茨公式

廣義調和級數

編輯

廣義調和級數是指有如下形式的級數:

 

其中  為實數。

比較審斂法可證所有廣義調和級數均發散。[6]

 -級數

編輯

調和級數廣義化的其中一種結果是 -級數,定義如下:

 

P是任何正實數。當  -級數即調和級數。由積分判別法柯西稠密判定法可知 -級數在 時收斂(此時級數又叫過調和級數(over-harmonic series)),而在 時發散。當 時, -級數的和即 ,也就是黎曼ζ函數 的值。

 -級數

編輯

對凸實值函數 ,若滿足以下條件:

 

則級數 收斂。

隨機調和級數

編輯

隨機調和級數定義如下:

 

其中 是恆等分布的獨立隨機變數,取值範圍為+1和-1,取這兩值的機率都是 阿爾伯塔大學的拜倫·施姆蘭研究此級數的性質,[7][8]並發現這級數收斂的機率為1,並發現這隨機變數有些有趣的性質。特別地,這隨機變數的機率密度函數在+2和-2處的值為0.124999999999999999999999999999999999999999764…,與 只差不到10−42。施姆蘭的論文解釋了為什麼這機率如此接近、但卻不是 。這機率的精確值由無窮餘弦乘積積分 除以 而給出的。[9]

貧化調和級數

編輯

貧化調和級數是將調和級數中、分母含有數字9的項去除後所剩的級數。這級數是收斂的,其和小於80。[10]實際上,將包含任意數字串的項從調和級數中去除後,所剩級數都收斂。

拉馬努金求和

編輯

調和級數是柯西發散的,而且很多常用的發散級數求和方法[註 2]對它也不適用。但是,調和級數的拉馬努金求和存在,且為歐拉-馬斯刻若尼常數

注釋

編輯
  1. ^ 泛音列與調和級數英文同為harmonic series
  2. ^ 鮑萊耳求和法

參見

編輯

參考

編輯
  1. ^ George L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51.
  2. ^ 2.0 2.1 Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren, Concrete Mathematics 2nd, Addison-Wesley: 258–264, 1989, ISBN 978-0-201-55802-9 
  3. ^ Sharp, R.T., Problem 52: Overhanging dominoes, Pi Mu Epsilon Journal, 1954: 411–412 
  4. ^ Sequence A082912 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  5. ^ Weisstein, Eric W. (編). Harmonic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2011-01-16]. (原始內容存檔於2013-05-16) (英語). 
  6. ^ Art of Problem Solving: "General Harmonic Series"頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  7. ^ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
  8. ^ Schmuland's preprint of Random Harmonic Series (PDF). [2011-01-16]. (原始內容 (PDF)存檔於2011-06-08). 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (編). Infinite Cosine Product Integral. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2010-11-14]. (原始內容存檔於2011-12-28) (英語). 
  10. ^ Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72. [2011-01-16]. (原始內容存檔於2010-09-28). 

外部連結

編輯