譜定理

數學上，特別是線性代數和泛函分析中，譜定理（英語：Spectral theorem）是關於線性算子或者矩陣的一些結果。泛泛來講，譜定理給出了算子或者矩陣可以對角化的條件（也就是可以在某個基底中用對角矩陣來表示）。對角化的概念在有限維空間中比較直接，但是對於無窮維空間中的算子需要作一些修改。通常，譜定理辨認出一族可以用乘法算子來代表的線性算子，這是可以找到的最簡單的情況了。用更抽象的語言來講，譜定理是關於交換C*-代數的命題。參看譜分析中的歷史觀點。

可以應用譜定理的例子有希爾伯特空間上的自伴算子或者更一般的正規算子。

譜定理也提供了一個算子所作用的向量空間的標準分解，稱為譜分解，特徵值分解，或者特徵分解。

本條目中，主要考慮譜定理的簡單情況，也就是希爾伯特空間上的自伴算子。但是，如上文所述，譜定理也對希爾伯特空間上的正規算子成立。

有限維的情況

埃爾米特矩陣

從在具有標準埃爾米特內積的有限維實或者複內積空間 $V$ 上的埃爾米特矩陣 $A$ 開始；埃爾米特條件意味著

\langle Ax,\,y\rangle =\langle x,\,Ay\rangle

對於所有 $V$ 的元素 $x,y$ 成立。

一個等價的條件是 $A^{*}=A$ ，其中 $A^{*}$ 是 $A$ 的共軛轉置。若 $A$ 為實矩陣，這等價於 $A^{T}=A$ （也即， $A$ 是對稱矩陣）。埃爾米特矩陣的特徵值是實數。

先回顧一下線性算子A的特徵向量是（非零）向量 $x$ 使得 $Ax=\lambda x$ 對於某個純量 $\lambda$ 成立。值 $\lambda$ 是相應的特徵值。

定理：當 $A$ 是埃爾米特矩陣, 存在標準正交基 $V$ ，由 $A$ 的特徵向量組成。且 $A$ 每個特徵值都是實數。

證明

這裡給出複數情況的證明概要。

根據代數基本定理，任何方形虛數項矩陣存在至少一個特徵值。若 $A$ 為埃爾米特矩陣，有特徵向量 $e_{1}$ ，考慮子空間 $K=\mathrm {span} \left\{e_{1}\right\}^{\perp }$ ，也即 $e_{1}$ 的正交補餘空間。根據埃爾米特性， $K$ 為 $A$ 的不變子空間。在 $K$ 上採用同樣的論證表明 $A$ 有特徵向量 $e_{2}\in k$ 。通過有限歸納法可以完成證明。

譜定理對於 n 維歐幾里得空間上的對稱矩陣也成立，但是特徵向量的存在性更難一些。實對稱矩陣有實特徵值，因此特徵向量有實項。

若取 $A$ 的特徵向量為標準正交基， $A$ 在這個基上的表示是對角的。等價地， $A$ 可以寫作互相正交的投影的線性組合，稱為它的譜分解。令

V_{\lambda }=\{\,v\in V:Av=\lambda v\,\}

為對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵空間。注意該定義不依賴於特定特徵向量的選擇。 $V$ 是空間 $V_{\lambda }$ 的直積，其中下標取遍特徵值。令 $P_{\lambda }$ 為到 $V_{\lambda }$ 上的正交投影，而 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ 為 $A$ 的特徵值，譜分解可以寫作：

A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.

譜分解是舒爾分解的特例。也是奇異值分解的特例。

正規矩陣

譜定理可以推廣到更為一般的矩陣。令 $A$ 為有限維內積空間上的算子。 $A$ 稱為正規算子若 $A^{*}\ A=A\ A^{*}$ 。可以證明 $A$ 正規若且唯若它可以酉對角化：根據舒爾分解， $A=U\ T\ U^{*}$ ，其中 $U$ 是么正矩陣而 $T$ 是上三角陣。因為 $A$ 正規， $T\ T^{*}=T^{*}\ T$ ，所以 $T$ 必定是對角的。反過來也是顯然的。

換言之， $A$ 正規若且唯若存在么正矩陣 $U$ 使得

A=U\Lambda U^{*}\;

其中 $\Lambda$ 是對角矩陣，其各項為 $A$ 的特徵值。 $U$ 的列向量是 $A$ 的特徵向量，而且他們是單位正交的。和埃爾米特的情況不同， $A$ 的對角項未必為實數。

緊自伴算子的譜定理

一般來講，希爾伯特空間中的關於緊自伴算子的譜定理和有限維的基本一樣。

定理：設 $A$ 為希爾伯特空間 $V$ 上的緊自伴算子。存在 $V$ 的標準正交基，由 $A$ 的特徵向量構成。每個特徵值都是實數。

對於埃爾米特矩陣，關鍵在於存在至少一個非零向量。要證明這一點，不能靠行列式來表明特徵值的存在，而是要使用極大化論證，類似於特徵值的變分表述。上述譜定理對於實或虛希爾伯特空間都成立。

如果緊性假設被取消，則未必每個自伴算子都有特徵。

有界自伴算子的譜定理

接下來的推廣是希爾伯特空間 $V$ 上的有界自伴算子 $A$ 。這樣的算子可能沒有特徵值：例如令 $A$ 為 $L^{2}[0,1]$ 上乘以 $t$ 的算子，也即

[A\varphi ](t)=t\varphi (t).\;

定理：令 $A$ 為希爾伯特空間 $H$ 上有界自伴算子。則存在測度空間 $(X,\Sigma ,\mu )$ 和 $X$ 上實值可測函數 $f$ ，以及酉算子 $U:H\rightarrow {L^{2}}_{\mu }(X)$ 使得

U^{*}TU=A\;

其中 $T$ 是乘法算子：

[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).\;

這是稱為算子理論的泛函分析這個巨大的研究領域的起點。

對於希爾伯特空間上的有界正規算子也有一個類似的譜定理。結論中唯一的區別在於 $f$ 可能是複值的。

譜定理的另一個表述形式將算子 $A$ 表達為在算子譜上的坐標函數關於投影值測度的積分。當該正規算子是緊的，這個版本的譜定理退化為上面的有限維譜定理，只是算子表達為可能為無限多的投影的線性組合。

一般自伴算子的譜定理

很多數學分析中的重要線性算子，例如微分算子，是無界的。對於這類情況的自伴算子也有一個譜定理。例如，任何常係數微分算子酉等價於乘法算子。事實上，實現這一等價的酉算子就是傅立葉轉換；該乘法算子是一類傅立葉乘子。

參看

矩陣分解
標準型
若爾當分解，譜分解是其特例。
奇異值分解，譜定理到任意矩陣的推廣。
矩陣特徵分解

參考

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
Paul Halmos, "What Does the Spectral Theorem Say?", American Mathematical Monthly, volume 70, number 3 (1963), pages 241–247