雅可比多項式

數學中,雅可比多項式 (英語:Jacobi polynomials,有時也被稱為超幾何多項式)是一類正交多項式。它的名稱來自十九世紀普魯士數學家卡爾·雅可比

定義

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雅可比多項式是從超幾何函數中獲得的,這個多項式列實際上是有限的:

 

其中的 階乘冪符號(這裡是指上升階乘冪),(Abramowitz & Stegun p561頁面存檔備份,存於網際網路檔案館))因此實際上的表達式是:

 

z等於1的時候,上式中的無窮級數只有第一項非零,這時得到:

 

這裡對於每一個整數 

 

 是通常定義的伽馬函數,其中約定,當整數n為小於零的時候:

 

這個多項式列滿足正交性條件:

 

其中 而且 

這個多項式列還滿足對稱性的關係:

 

因此在z等於-1的時候也可以直接算出多項式值:

 

對於實數  ,雅可比多項式也可以寫成另一種形式:

 

其中   並且  

有一個特殊的情形,是當以下四個量:     以及   都是非負的實數的時候,雅可比多項式可以寫成如下形式:

 

其中 的求和是對所有使得求和項為非負實數的整數 求和。

在這種情形下,以上表達式使得維納d-矩陣  )可以寫成用雅可比多項式表達的形式[1]

 

導數

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身為多項式的一種,雅可比多項式也是無限連續可微(可導)的函數。雅可比多項式的第k次導函數為:

 

微分方程式

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雅可比多項式 是以下的二階齊次線性常微分方程式的解:

 

參見

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注釋

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  1. ^ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

參考來源

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