在数学 中，雅可比多项式 （英語：Jacobi polynomials ，有时也被称为超几何多项式 ）是一类正交多项式 。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比 。
雅可比多项式是从超几何函数 中获得的，这个多项式列实际上是有限的：
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
(
α
+
1
)
n
n
!
2
F
1
(
−
n
,
1
+
α
+
β
+
n
;
α
+
1
;
1
−
z
2
)
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}
其中的
(
α
+
1
)
n
{\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
阶乘幂符号 （这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun p561 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ））因此实际上的表达式是：
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
n
+
1
)
n
!
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
Γ
(
α
+
β
+
n
+
m
+
1
)
Γ
(
α
+
m
+
1
)
(
z
−
1
2
)
m
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}
当z 等于1的时候，上式中的无穷级数 只有第一项非零，这时得到：
P
n
(
α
,
β
)
(
1
)
=
(
n
+
α
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
这里对于每一个整数
n
{\displaystyle n\,}
(
z
n
)
=
Γ
(
z
+
1
)
Γ
(
n
+
1
)
Γ
(
z
−
n
+
1
)
,
{\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}
而
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\,}
伽马函数 ，其中约定，当整数n 为小于零的时候：
(
z
n
)
=
0
{\displaystyle {z \choose n}=0}
这个多项式列满足正交性条件：
∫
−
1
1
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
P
m
(
α
,
β
)
(
x
)
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
=
2
α
+
β
+
1
2
n
+
α
+
β
+
1
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
n
+
β
+
1
)
Γ
(
n
+
α
+
β
+
1
)
n
!
δ
n
m
{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}
其中
α
>
−
1
{\displaystyle \alpha >-1}
β
>
−
1
{\displaystyle \beta >-1}
这个多项式列还满足对称性的关系：
P
n
(
α
,
β
)
(
−
z
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
β
,
α
)
(
z
)
;
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}
因此在z 等于-1的时候也可以直接算出多项式值：
P
n
(
α
,
β
)
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
(
n
+
β
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
对于实数
x
{\displaystyle x}
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
∑
s
(
n
+
α
s
)
(
n
+
β
n
−
s
)
(
x
−
1
2
)
n
−
s
(
x
+
1
2
)
s
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}
其中
s
≥
0
{\displaystyle s\geq 0\,}
n
−
s
≥
0
{\displaystyle n-s\geq 0\,}
有一个特殊的情形，是当以下四个量：
n
{\displaystyle n}
n
+
α
{\displaystyle n+\alpha }
n
+
β
{\displaystyle n+\beta }
n
+
α
+
β
{\displaystyle n+\alpha +\beta }
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
(
n
+
α
)
!
(
n
+
β
)
!
∑
s
[
s
!
(
n
+
α
−
s
)
!
(
β
+
s
)
!
(
n
−
s
)
!
]
−
1
(
x
−
1
2
)
n
−
s
(
x
+
1
2
)
s
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}
其中
s
{\displaystyle s\,}
s
{\displaystyle s\,}
在这种情形下，以上表达式使得维纳d-矩阵
d
m
′
m
j
(
ϕ
)
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;}
0
≤
ϕ
≤
4
π
{\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }
[ 1]
d
m
′
m
j
(
ϕ
)
=
[
(
j
+
m
)
!
(
j
−
m
)
!
(
j
+
m
′
)
!
(
j
−
m
′
)
!
]
1
/
2
(
sin
ϕ
2
)
m
−
m
′
(
cos
ϕ
2
)
m
+
m
′
P
j
−
m
(
m
−
m
′
,
m
+
m
′
)
(
cos
ϕ
)
.
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}
身为多项式的一种，雅可比多项式也是无限连续可微 （可导）的函数。雅可比多项式的第k 次导函数为：
d
k
d
z
k
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
+
k
)
2
k
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
P
n
−
k
(
α
+
k
,
β
+
k
)
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}
雅可比多项式
P
n
(
α
,
β
)
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
常微分方程 的解：
(
1
−
x
2
)
y
″
+
(
β
−
α
−
(
α
+
β
+
2
)
x
)
y
′
+
n
(
n
+
α
+
β
+
1
)
y
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}
^ L. C. Biedenharn and J. D. Louck,
Angular Momentum in Quantum Physics , Addison-Wesley, Reading, (1981)
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720 , MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） .
Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71 , Cambridge University Press , 1999, ISBN 978-0-521-62321-6ISBN 978-0-521-78988-2 , MR 1688958 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255
关于多变量的雅可比多项式，请见「黑科曼-欧普达姆多项式」。
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d82730cbf4eb92d90abc188c0de9c6aed3dac0c)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abcaf41d9baf29c60160c839c3d9e062c80ce9e)
