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二刻尺作圖

允許測量某線段的長度是否跟已知的線段等長且線段的端點與已知點這三點共線的作圖方法

二刻尺（希臘語：νεῦσις、拉丁转写：neusis）是一種幾何作圖的工具，是上面有二個刻度的直尺（刻度可以在作圖過程中標示），因此可以記錄長度。

二刻尺作圖

二刻尺在古希臘時期曾經和圓規、（無刻度的）直尺一樣是在尺規作圖中合法的作圖工具。而後來的尺規作圖多限定只能使用無刻度的直尺，不允許使用二刻尺。

構造

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二刻尺介于刻度尺和尺规作图中的尺之间，既不同于日常使用的刻度尺（有许多刻度），也不同于尺规作图中的尺（没有刻度）。二刻尺有两个刻度，使得二刻尺上有某一固定长的线段。尺規作圖中的尺，可視为画无限长的直线工具，二刻尺可看作这种尺上任意添加了点A和点B两个点（AB两点长度固定却不确定某一数值）。

使用方法

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尺规作图中的尺只能用來將兩點連接起來。而二刻尺除了可以將兩點連接起來，還有以下用法：假設尺上的兩刻度距離為a，有兩條線l、m和點P，可以用二刻尺找到一條通過P的直線，使得此直線與直线l和m的两个交點间的距離為a。

如圖，有兩條線l、m和點P。可以將尺與點P對齊，並讓其中一個刻度保持在l（圖中黃點）上，慢慢轉動尺 (允許尺貼着P滑動)，直到另一個刻度碰到m（圖中藍點），此線即為所求（圖中深藍色線）。

幾何作圖

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二刻尺可以解出單用直尺和圓規無法解決的問題，例如三等分角和正七邊形。

 
用二刻尺做三等分角

三等分角

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  • 已知角a，以B點為圓心，二刻尺刻度間距為半徑畫圓。
  • 角a的兩邊其中一邊交圓於A點，並畫另一邊的延長線。
  • 將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到圓上，另一個移到角a一邊的延長線上，分別稱為C點和D點。（即是使CD = AB）
  • 角b即為角a的三等分角。
 
用二刻尺作正七邊形

正七邊形

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特定正多邊形

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基本上，正n邊形可以由二刻尺作圖建構當n =

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 132, 133, 135, 136, 140, 143, 144, 146, 148, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 163, 165, 168, 170, ... ，這是根據正十一邊形的結果衍生而得。[1]

不過當n =

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, 129, 131, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 145, 147, 149, 157, 158, 159, 161, 166, 167, 169, ... ，就無法藉由二刻尺完成作圖。

但目前仍然不知道對於以下的n，正n邊形能不能二刻尺作圖：

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, 150, 151, 155, 164, ...

倍立方

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主条目：倍立方
 
用二刻尺作倍立方
  • 以二刻尺刻度的間距做AB=BC=CA=BD，且A、B、D共線。
  • 將二刻尺固定在A點，並將兩刻度一個移到CD的延長線上，另一個移到BC的延長線上，分別稱為G點和H點。
  • AG的長度就是二刻尺刻度的間距的 倍。

二刻尺的沒落

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數學史學家T.L.希思（英语：T. L. Heath）（T. L. Heath）認為古希臘數學家恩諾皮德斯[a]（公元前440年左右）是第一個把圓規和直尺的地位提高的人。這種避免使用二刻尺的理念多少影響了同一時期、同一座島上的几何学家希俄斯的希波克拉底（英语：Hippocrates of Chios）（Hippocrates of Chios，不是醫師希波克拉底）[b]（公元前430年左右）。100年後，歐幾里得在其著作中也盡量避免使用二刻尺作圖。

公元前4世紀，受到柏拉圖的理念论影響，尺規作圖被分成三個等級。這三個等級分別是：

  1. 只用圓和直線作圖（一般的尺規作圖）。
  2. 除了圓和直線，允許使用圓錐曲線作圖（橢圓、拋物線、雙曲線）。
  3. 使用其他方法作圖（例如：二刻尺、阿基米德螺線）。

二刻尺被放在第三級是因為它可以解決前兩級所不能解決的問題[c]，因此二刻尺被當成解決問題的最終手段，這種簡單而有力的作圖工具也逐漸被當成不正當的作圖工具。希臘數學家亚历山大里亚的帕普斯（Pappus of Alexandria，公元前325年左右）認為：「這是一個不小的錯誤」。

注释

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  1. ^ 恩諾皮德斯是最早提出尺規作圖原則的人。
  2. ^ 希波克拉底是我們目前所知第一個將幾何作圖條理化的人
  3. ^ 直尺、圓規和圓錐曲線最多只能解決二次方程的題目，而二刻尺至少可以解決三次方程的題目。

参考文献

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外部連結

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參見

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  1. ^ BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (May 2014): 409-424.; http://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
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