格爾豐德-施奈德常數

格爾豐德-施奈德常數即為2的次方,其值为:

2的次方
2的次方
命名
名稱格爾豐德-施奈德常數
希爾伯特數[1]
識別
種類無理數
超越數
符號
位數數列編號OEISA007507
表示方式
2.6651441...
二进制10.101010100100011011100010
十进制2.665144142690225188650297
十六进制2.AA46E2F3FB0062E316C62EDE

羅季翁·庫兹明在1930年證明此數字是超越数[2]。 1934年蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德和德國數學家西奧多·施耐德分別獨立證明了更一般的格尔丰德-施奈德定理[3],因此证明格爾豐德-施奈德常數為超越数,也回答了希爾伯特第七問題

它的平方根

也是一个超越数。在無理數的無理數次方為有理數這個命題中,它可用來提供一個經典、簡捷的證明。

無理數的無理數次方為有理數

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儘管已知   是超越數,自然也就會是無理數。但在不知道它是無理數的情況下,仍可以證明此事。

命題:在在 a, b 是無理數,使得  為有理數。

證明:

已知 是無理數,考慮  ,它有可能是有理數,也可能是無理數。

  •   是有理數,即得證。
  •   是無理數,則
 

為有理數,得證。

希尔伯特第七问题

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希尔伯特的第七个问题是要证明(或找出反例),如果a是一个不等于0或1的代数数,b是一个无理代数数,则ab总是超越数。他给出了两个例子,其中一个就是 

1919年,他发表了一个关于数论的演讲,谈到了三个猜想:黎曼猜想费马大定理 的超越性。他对观众说,在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。[4]但这个数的超越性在1934年得出证明[5],当时希尔伯特还活着。

参见

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参考文献

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  1. ^ Courant, R.; Robbins, H., What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press: 107, 1996 
  2. ^ R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 1930, 7: 585–597. 
  3. ^ Aleksandr Gelfond. Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934, VII (4): 623–634 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-06-11). 
  4. ^ David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
  5. ^ Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.