當馬克士威方程組描繪帶電粒子怎樣產生電磁場的同時,勞侖茲力方程式描繪了移動於電磁場的帶電粒子所感受到的電磁力。這使得整個電磁動力的圖畫得以完整。在一個複雜的物理系統裏,帶電粒子可能還會感受到別種作用力,像萬有引力 或核力 。馬克士威方程組並非與這些作用力完全無關;而是通過帶電粒子或電流密度與這些作用力耦合。
對於實際的物質,在原則上和計算的複雜程度上,勞侖茲力方程式都不足以描述一群粒子的物理行為。在物質介質裏的帶電粒子,必須同時地響應和生成電磁場。除此以外,還必須考慮到描述這一群粒子的運動的傳輸方程式,例如,波茲曼傳輸方程式 (Boltzmann equation )、福克-普朗克方程式 [ 3] (Fokker–Planck equation )、納維-斯托克斯方程式 、等等。請參閱磁流體力學 、超導現象 、恆星演化 、等等。在這些學術領域研究的科學家必須解析複雜的傳輸方程式,求得帶電粒子在時間和空間方面的響應。
或許有些讀者會認為這些理論只是靠著近似來處理一個大系綜 的帶電粒子。從更深的層面來看,帶電粒子也會對非電磁力,像萬有引力,核力或邊界條件 等等,產生響應。
許多經典電磁學教科書會用勞侖茲力定律來定義電場和磁場。
假設檢驗電荷靜止不動,
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} =0}
,則勞侖茲力方程式變為
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
。
採用國際單位制 ,假設檢驗電荷的電量為1庫侖 ,作用於檢驗電荷的勞倫茲力為1牛頓 ,則檢驗電荷感受到的電場為1牛頓/庫侖。
假設電場為零,則作用於電荷
q
{\displaystyle q}
的勞侖茲力是
F
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
。
對於一條線電荷密度為
λ
{\displaystyle \lambda }
的載流導線,總作用力為
F
=
∫
C
v
×
B
d
q
=
∫
C
v
×
B
λ
d
ℓ
=
∫
C
I
×
B
d
ℓ
{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \mathrm {d} q=\int _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \lambda \mathrm {d} \ell =\int _{\mathbb {C} }\mathbf {I} \times \mathbf {B} \mathrm {d} \ell }
;
其中,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
是積分路徑,
I
=
λ
v
{\displaystyle \mathbf {I} =\lambda \mathbf {v} }
是電流向量。
假設電流是穩定電流,則可以將電流從積分內提出,用向量
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
來表示電流
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
的方向:
F
=
I
∫
C
d
ℓ
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} =I\int _{\mathbb {C} }\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} }
。
這公式給出了,在磁場內,載流導線感受到的磁場力。
使用這公式和必歐-沙伐定律 ,就可以推導出安培力定律 (詳盡細節,請參閱安培力定律 )。
假設,磁場是均勻磁場,積分路徑是垂直於磁場的直線,則
F
=
I
L
B
{\displaystyle F=ILB}
;
其中,
L
{\displaystyle L}
是積分路徑
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的長度,
採用國際單位制,假設檢驗電流為1安培 ,作用於載流導線的單位長度的勞侖茲力為1牛頓 /公尺 ,則檢驗電流感受到的磁場為1特斯拉 。
在時間
t
{\displaystyle t}
,以閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
為邊緣的曲面
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
,和在此曲面
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
某些位置的磁場
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
。
一個以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動於磁場
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
的閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
。
法拉第電磁感應定律闡明,穿過任意閉迴路的磁通量 的變化率,與這迴路的電動勢成正比:
E
=
−
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
;
其中,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
是電動勢,
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
是磁通量,
t
{\displaystyle t}
是時間。
在時間
t
{\displaystyle t}
通過任意曲面
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
的磁通量
Φ
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
定義為
Φ
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} }
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是位置,
d
a
{\displaystyle d\mathbf {a} }
是微小面元素。
給予一個以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
移動於磁場的閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
。那麼,磁通量對於時間的全微分 是[ 5]
d
Φ
B
(
t
)
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+dt)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}dt\cdot d\mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot d\mathbf {a} \\\end{aligned}}}
;
其中,
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
是邊緣為
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的曲面,
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
是包括
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+dt)}
、
−
Σ
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
和
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的閉曲面,
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
是邊緣
∂
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+dt)}
和
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
形成的邊緣曲面。
根據散度定理 和高斯磁定律 ,
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
τ
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} d\tau =0}
;
其中,
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
是閉曲面
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
包含的空間,
d
τ
{\displaystyle d\tau }
是微小體元素。
通過邊緣曲面
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
的磁通量可以改變成一個線積分:
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [d{\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} dt)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} dt)\times \mathbf {B} ]\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
所以,磁通量對於時間的全導數,或磁通量的變化率為
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=\int _{\Sigma (t+dt)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
運動於移動的閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的一個電荷
q
{\displaystyle q}
的速度
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
為
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
;
其中,
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
是相對於閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的電荷運動速度,
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
是閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的移動速度。
這電荷會感受到勞侖茲力
F
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
;
電動勢
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
定義為
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ
F
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma }{\frac {\mathbf {F} }{q}}\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
根據法拉第電磁感應定律,
E
=
−
d
Φ
B
d
t
=
∫
∂
Σ
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}=\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
在計算積分時,閉迴路
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
的微小線元素
d
ℓ
{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}
與正在那位置的電荷的
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
平行。所以,
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
−
∫
∂
Σ
(
E
+
v
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}(t)}{dt}}=-\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}
。
令兩個磁通量變化率的方程式相等,除去同有的移動的閉迴路項目,則可得到
∫
∂
Σ
E
⋅
d
ℓ
=
−
∫
Σ
∂
B
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }
。
應用斯托克斯定理 ,
∫
∂
Σ
E
⋅
d
ℓ
=
∫
Σ
∇
×
E
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {a} }
,可以得到
∫
Σ
(
∇
×
E
+
∂
B
∂
t
)
⋅
d
a
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {a} =0}
。
由於
Σ
{\displaystyle \Sigma }
是任意取面,可以將被積式從積分中取出:
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
。
這是馬克士威-法拉第方程式 。由於這方程式的右手邊是個對於時間的偏導數項目,只涉及固定的閉迴路,不能用來計算移動中的閉迴路。
用馬克士威-法拉第方程式,通常對於時間的偏導數的詮釋只限制為固定邊界。而在另一方面,不論導線的閉迴路是剛硬固定的、是在運動中、是在形變 過程中,不論磁場是不含時的或含時的,法拉第電磁感應定律都成立。但是,對於某些案例,法拉第電磁感應定律並不適用或使用起來很困難。這時候,必須使用勞侖茲力定律。詳盡細節,請參閱法拉第電磁感應定律不適用案例 。
假設閉迴路移動於不含時間的磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,通過閉迴路的磁通量
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會因為幾種因素而改變:例如,假若磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
隨著位置改變,閉迴路移動至不同磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的位置,則磁通量
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會改變。或者,假若相對於磁場,閉迴路的定向 改變,由於微小元素
B
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }
的改變,磁通量
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
也會改變。再舉一個例子,假若閉迴路掃掠過一個均勻的不含時磁場,由於閉迴路的形變,磁通量
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
會改變。對於這三個案例,法拉第電磁感應定律正確地計算出磁通量變化率
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
所產生的電動勢。
對比前面所述狀況,假設固定的閉迴路處於含時磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,馬克士威-法拉第方程式會顯示出一個非保守性的電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
產生於閉迴路,靠著勞侖茲力的
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
項目,驅使載電粒子移動於導線。這狀況也會改變磁通量
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
,法拉第電磁感應定律也會正確地計算出磁通量變化率
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}}
所產生的電動勢。
根據亥姆霍兹分解 (Helmholtz decomposition ),電場和磁場可以用電勢
ϕ
{\displaystyle \phi }
和磁向量勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
來表達:
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
其中∇为梯度,∇⋅ 为散度,∇× 为旋度 。
將這兩個公式代入勞侖茲力方程式,則可得到
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
v
×
(
∇
×
A
)
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right]}
可以化简为
F
=
q
[
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
+
∇
(
v
⋅
A
)
−
(
v
⋅
∇
)
A
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla (\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} \right]}
定義粒子的四維速度
u
β
{\displaystyle u_{\beta }}
為
u
β
=
d
e
f
(
u
0
,
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
γ
(
c
,
−
v
x
,
−
v
y
,
−
v
z
)
{\displaystyle u_{\beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ (u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3})=\gamma (c,\,-v_{x},\,-v_{y},\,-v_{z})}
;
其中,
γ
{\displaystyle \gamma }
是勞侖茲因子 ,
c
{\displaystyle c}
是光速,
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},\,v_{y},\,v_{z})}
是粒子的速度向量。
定義電磁場張量
F
α
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta }}
為
F
α
β
=
d
e
f
[
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
;
其中,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
是電場向量,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
是磁場向量。
結合牛頓運動定律 與勞侖茲力定律在一起,以電磁場張量 寫為反變形式 (contravariant form ):
d
p
α
d
τ
=
q
u
β
F
α
β
{\displaystyle {\frac {dp^{\alpha }}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{\alpha \beta }}
;
其中,
p
α
{\displaystyle p^{\alpha }}
是四維動量 ,
τ
{\displaystyle \tau }
是粒子的固有時 。
應用勞侖茲變換 ,電磁場張量可以從一個參考系
S
{\displaystyle S}
轉換到另一個參考系
S
¯
{\displaystyle {\bar {S}}}
:
F
¯
μ
ν
=
Λ
μ
α
Λ
ν
β
F
α
β
{\displaystyle {\bar {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }}
;
其中,
Λ
μ
α
{\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}
和
Λ
ν
β
{\displaystyle {\Lambda ^{\nu }}_{\beta }}
是勞侖茲變換矩陣。
換另一種方法,定義四維勢
A
α
{\displaystyle A^{\alpha }}
為
A
α
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
x
,
A
y
,
A
z
)
{\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z})}
;
其中,
ϕ
{\displaystyle \phi }
是電勢 ,
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
是磁向量勢 。
定義四維坐標
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
為
x
α
=
d
e
f
(
c
t
,
−
x
,
−
y
,
−
z
)
{\displaystyle x_{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,-x,\,-y,\,-z)}
。
那麼,電磁場張量為[ 1]
F
α
β
=
∂
A
β
∂
x
α
−
∂
A
α
∂
x
β
{\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}}
。
先計算四維力 (four-force )的
μ
=
1
{\displaystyle \mu =1}
分量(x-分量):
γ
d
p
1
d
t
=
d
p
1
d
τ
=
q
u
β
F
1
β
=
q
(
u
0
F
10
+
u
1
F
11
+
u
2
F
12
+
u
3
F
13
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}={\frac {dp^{1}}{d\tau }}=qu_{\beta }F^{1\beta }=q\left(u_{0}F^{10}+u_{1}F^{11}+u_{2}F^{12}+u_{3}F^{13}\right)}
。
將電磁場張量的分量代入,可以得到
γ
d
p
1
d
t
=
q
(
u
0
(
E
x
c
)
+
u
2
(
−
B
z
)
+
u
3
(
B
y
)
)
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\left(u_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+u_{2}(-B_{z})+u_{3}(B_{y})\right)}
。
再將四維速度的分量代入,則會得到
γ
d
p
1
d
t
=
q
γ
(
c
(
E
x
c
)
+
v
y
B
z
−
v
z
B
y
)
=
q
γ
[
E
x
+
(
v
×
B
)
x
]
{\displaystyle \gamma {\frac {dp^{1}}{dt}}=q\gamma \left(c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma [E_{x}+(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )_{x}]}
。
類似地,可以計算出四維力的
μ
=
2
{\displaystyle \mu =2}
和
μ
=
3
{\displaystyle \mu =3}
分量。所以,
d
p
d
t
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
。
^ 1.0 1.1 1.2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 204, 326, 417, 541. ISBN 0-13-805326-X .
^ Darrigol, Olivier, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford, [England]: Oxford University Press: 327, 2000, ISBN 0-198-50593-0
^ 福克-普朗克方程 . 维基百科,自由的百科全书. 2015-12-13 (中文) .
^ Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006: pp. 172-175. ISBN 0-7637-3827-1 .
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National High Magnetic Field Laboratory的Java互動教學網頁:勞侖茲力 。