餘割

餘割
性質
奇偶性	奇
定義域	$\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到達域	$\left|\csc x\right|\geq 1$
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
當x=0	∞
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	$x=k\pi$ （x=180°k）
根	無實根
臨界點	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （180°k-90°）
不動點	當x軸為弧度時： ±1.11415714087193... （±63.8365018863243...°） ±2.77260470826599... （±158.858548041742...°） ±6.4391172384172... （±368.934241551242...°） ... 當x軸為角度時： ±7.5804535084227...° ±179.6811235695917...° ±360.15908484761767...° ...
k是一個整數。

餘割（Cosecant，$\csc$）是三角函数的一种。它的定义域不是$k\pi$（或180°k，其中$k$為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$（360°）。

餘割是三角函数的餘函數（餘弦、餘切、餘割、餘矢）之一，所以在$2k\pi$（360°k）到$2k\pi +{\frac {\pi }{2}}$（360°k+90°）的區間之間，函數是遞减的，另外餘割函数和正弦函数互為倒數。

在單位圓上，餘割函数位於割線上，因此將此函數命名為餘割函数。

和其他三角函數一樣，餘割函数一樣可以擴展到複數。

符号史

余割的符号为$\csc$，取自英文cosecant，其又源於拉丁文的cosecans及secans complementi。

定义

直角三角形中

直角三角形，$\angle C$為直角，$\angle A$的角度為 $\theta$， 對於$\angle A$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个銳角$\angle A$的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

$\csc \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {a} }}$

其定義與正弦函數互為倒數。

直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left({x,y}\right)$是角的终边上一点，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是P到原点O的距离，则$\alpha$的余割定义为：

$\csc \alpha ={\frac {r}{y}}$

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于$\sin \theta$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了$\csc \theta ={\frac {1}{y}}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于$2\pi$（360°）或小于$-2\pi$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为$2\pi$（360°）的周期函数：

$\csc \theta =\csc \left(\theta +2\pi k\right)=\csc \left(\theta +360^{\circ }k\right)$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

與其他函數定義

餘割函數和正弦函數互為倒數

即：

$\csc x={\frac {1}{\sin x}}$

級數定義

餘割也能使用泰勒級數來定義：

$\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+{\frac {127x^{7}}{604800}}+{\frac {73x^{9}}{3421440}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.$

其中$B_{2n}$為伯努利數。

另外，我们也有

$\csc x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{-n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}.$

微分方程定义

$\csc 'x=-\csc x\cot x$

$\csc x=\left(\ln \left|\csc x-\cot x\right|\right)'$

指数定义

$\csc \theta ={\frac {2\mathrm {i} }{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,$

恆等式

和差角公式

$\csc(\theta \pm \psi )={\frac {\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }}$

參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 正割
• 三角学
• 三角函数
• 函數
• 正弦波