作用量-角度坐标

经典力学里,作用量-角度坐标(action-angle coordinate)是一组正则坐标,通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时,有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法,不需要先解析运动方程,就能够求得振动旋转频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程哈密顿量显性地不含时间,也就是说,能量保持恒定)。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为,保持作用量的不变设定了环的曲面,而角度是环面的另外一个坐标,粒子依照着角度,卷绕于环面。

量子力学早期,波动力学发展成功之前,玻尔-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明,作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难,都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。

哈密顿力学里,作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论,特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动,混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem 。这定理阐明,对于微小摄动,环面不变量是稳定的。

作用量-角度坐标,对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析,对于 Lax pairs 的定义,更广义地,对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想,都占有关键地位。

导引

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保守的哈密顿量系统

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主条目:哈密顿特征函数

假设,在一个物理系统里,哈密顿量是保守的,也就是说,哈密顿量   不显含时间;

 

其中, 运动常数 广义坐标 广义动量

采用哈密顿特征函数  正则变换第二型生成函数。变换方程为

 
 

其中,  是新广义坐标  是新广义动量

新哈密顿量   与旧哈密顿量   相等:

 

新广义动量的哈密顿方程

 

所以,新广义动量是常数  

 

假设,这物理系统的哈密顿-亚可比方程   为完全可分的,则哈密顿特征函数   可以分离为   个函数  

 

哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是

 
 

周期性运动

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假若,粒子的运动是周期性运动,最常见的例子如振动旋转都是周期性运动,则可以设计一个新正则坐标-作用量-角度坐标   。定义作用量为

 

这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。

由于广义动量   只跟    有关,经过积分,作用量  只跟   有关。所以,作用量矢量   只是个常数矢量。哈密顿特征函数可以表达为

 

虽然是同样的物理量,函数的参数不同,形式也不同。

定义角度  

 

由于所有的广义坐标   都相互独立,所有的广义动量   也都相互独立,所以,所有的作用量   都相互独立,作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样,哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为

 

新哈密顿量   与旧哈密顿量   相等:

 

因为作用量   只是常数矢量,所以,

 

哈密顿量   ,只跟作用量   有关,跟角度   无关。

角度   随时间的导数   ,可以用哈密顿方程决定:

 

每一个   都是常数,所以,  也是常数:

 

其中,  是积分常数。

运动频率

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假设原本广义坐标   的振荡或旋转的运动周期为   ,则其对应的角度变数   的改变是   。进一步了解物理量   的性质,猜想   与广义坐标   周期性运动的频率有关。可是,因为角度   是广义坐标   与作用量   的函数,无法确定前面的猜想。为了证实这论点,计算周期  

 

新哈密顿量   与旧哈密顿量   相等。所以,

 

假若   是个循环坐标,那么,其共轭动量   必是个常数,可以从作用量的定义积分内提出来:

 

其中,   运动一周期的值。

这样,

 

代入周期   的公式,

 

肯定地,  是广义坐标   的频率。

假若   不是循环坐标,则不能将其共轭动量   从作用量的定义积分内提出来,必须采用另外一个方法计算。从角度的定义,可以察觉角度   跟广义坐标   、作用量   有关:

 

保持作用量不变,角度的虚位移   是:

 

在一个周期性物理系统里,每一个广义坐标   都有它运动的周期   。假若,其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同,则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若,两个广义坐标的周期不同    。在做闭路径积分的时候,就必须使用使用一个新的周期   ,让闭路径积分能够开始与结束于同一点.假若,两个周期的比例是个有理数,则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为

 

其中,     ,都是正值的整数。

同样地,在多重周期性物理系统里,假若,每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的,则此系统是完全可通约的,称此系统为完全可通约系统。那么,新周期  

 

其中,   ,都是正值的整数。

经过一个周期   ,角度   的变化是:

 

由于作用量   是个常数,可以将它从积分内提出:

 

所以,频率是

 

假若,有任何两个互相不可通约的广义坐标    ,其周期    的比例是无理数。那么,  不可能与   同时回到同一点。虽然如此,有理论证明,   仍旧分别是    的频率。

傅里叶级数

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角度   是一组互相独立的广义坐标。所以,一般而言,每一个广义坐标   可以用角度的傅里叶级数表示:

 

其中,   是傅里叶级数系数。

在大多数实际案例,物理系统的哈密顿-亚可比方程   为完全可分的。那么,一个原本广义坐标   只需用其相应的角度变数的傅里叶级数表示:

 

基本规则总结

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一般程序有三个步骤:

  1. 计算作用量变数  
  2. 用作用量变数表示原本哈密顿量。
  3. 取哈密顿量关于作用量变数的导数。这样,可以求得频率  

简并度

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在有些案例,两个不同的广义坐标会有相同的频率;也就是说,  for   。称这些案例的运动状态为简并

简并的运动给出暗示,很可能有更多的保守量。例如,开普勒问题的频率是简并的,这对应于拉普拉斯-龙格-楞次矢量的恒定性。

简并的运动还给出暗示,在多于一种坐标系统里,哈密顿-亚可比方程会是完全可分的。例如,开普勒问题球坐标系抛物线坐标系,都是完全可分的。

参考文献

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  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.