- 主条目:哈密顿特征函数
假设,在一个物理系统里,哈密顿量是保守的,也就是说,哈密顿量 不显含时间;
- ;
其中, 是运动常数, 是广义坐标, 是广义动量。
采用哈密顿特征函数 为正则变换的第二型生成函数。变换方程为
- ,
- ;
其中, 是新广义坐标, 是新广义动量。
新哈密顿量 与旧哈密顿量 相等:
- 。
新广义动量的哈密顿方程为
- 。
所以,新广义动量是常数 :
- ,
假设,这物理系统的哈密顿-亚可比方程 为完全可分的,则哈密顿特征函数 可以分离为 个函数 :
- 。
哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是
- ,
- 。
假若,粒子的运动是周期性运动,最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动,则可以设计一个新正则坐标-作用量-角度坐标 。定义作用量为
- ;
这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。
由于广义动量 只跟 、 有关,经过积分,作用量 只跟 有关。所以,作用量矢量 只是个常数矢量。哈密顿特征函数可以表达为
- 。
虽然是同样的物理量,函数的参数不同,形式也不同。
定义角度 为
- 。
由于所有的广义坐标 都相互独立,所有的广义动量 也都相互独立,所以,所有的作用量 都相互独立,作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样,哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为
- 。
新哈密顿量 与旧哈密顿量 相等:
- 。
因为作用量 只是常数矢量,所以,
- 。
新哈密顿量 ,只跟作用量 有关,跟角度 无关。
角度 随时间的导数 ,可以用哈密顿方程决定:
- 。
每一个 都是常数,所以, 也是常数:
- ;
其中, 是积分常数。
假设原本广义坐标 的振荡或旋转的运动周期为 ,则其对应的角度变数 的改变是 。进一步了解物理量 的性质,猜想 与广义坐标 周期性运动的频率有关。可是,因为角度 是广义坐标 与作用量 的函数,无法确定前面的猜想。为了证实这论点,计算周期 :
- 。
新哈密顿量 与旧哈密顿量 相等。所以,
- 。
假若 是个循环坐标,那么,其共轭动量 必是个常数,可以从作用量的定义积分内提出来:
- ;
其中, 是 运动一周期的值。
这样,
- 。
代入周期 的公式,
- 。
肯定地, 是广义坐标 的频率。
假若 不是循环坐标,则不能将其共轭动量 从作用量的定义积分内提出来,必须采用另外一个方法计算。从角度的定义,可以察觉角度 跟广义坐标 、作用量 有关:
- 。
保持作用量不变,角度的虚位移 是:
- 。
在一个周期性物理系统里,每一个广义坐标 都有它运动的周期 。假若,其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同,则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若,两个广义坐标的周期不同 、 。在做闭路径积分的时候,就必须使用使用一个新的周期 ,让闭路径积分能够开始与结束于同一点.假若,两个周期的比例是个有理数,则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为
- ;
其中, 、 、 、 ,都是正值的整数。
同样地,在多重周期性物理系统里,假若,每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的,则此系统是完全可通约的,称此系统为完全可通约系统。那么,新周期 为
- ;
其中, 、 ,都是正值的整数。
经过一个周期 ,角度 的变化是:
- 。
由于作用量 是个常数,可以将它从积分内提出:
- 。
所以,频率是
- 。
假若,有任何两个互相不可通约的广义坐标 、 ,其周期 、 的比例是无理数。那么, 不可能与 同时回到同一点。虽然如此,有理论证明, 、 仍旧分别是 、 的频率。
角度 是一组互相独立的广义坐标。所以,一般而言,每一个广义坐标 可以用角度的傅里叶级数表示:
- ;
其中, 是傅里叶级数系数。
在大多数实际案例,物理系统的哈密顿-亚可比方程 为完全可分的。那么,一个原本广义坐标 只需用其相应的角度变数的傅里叶级数表示:
- 。