十二面体

**十二面体**
部分的十二面体
; 五角十二面体	; 扭棱锲形体
; 正十二面体	; 菱形十二面体
; 正十角柱（英语：Decagonal prism）	; 双四角锥柱

在几何学中，十二面体是指由十二个面组成的多面体，而由十二个全等的正五边形组成的十二面体称为正十二面体。

十二个面的多面体可以是正十二面体、菱形十二面体、正五角帐塔、双四角锥柱、扭棱锲形体、十一角锥、十角柱。

在许多情况下，常用“十二面体”一词来代表正十二面体。

常见的十二面体

在所有凸十二面体中，包含镜射像共有6,384,634种拓朴结构明显差异的凸十二面体^[1]^[2]。拓朴结构有明显差异意味着两种多面体无法透过移动顶点位置、扭曲或伸缩来相互变换的多面体，例如正十二面体和十角柱无论如何变形都无法互相变换，因此拓朴结构不同，但正十二面体和截角五方偏方面体可以透过简单的变形来彼此互换，因此正十二面体和截角五方偏方面体在拓朴上并无明显差异。

常见的十二面体
I_h, 120阶
正-	小星形-	大-	大星形-

T_h, 24阶	T, 12阶	O_h, 48阶	T_d, 24阶
五角十二面体	五角三四面体	菱形-	筝形-

D_4h, 16阶		D_3h, 12阶
菱形六角化-	菱形四角化-	梯形菱形-	梯形筝形-

正十二面体

正十二面体是对称性最高的十二面体，由12个正五边形组成。它共有20个顶点、30条棱、160条对角线，被施莱夫利符号{5,3}所表示，与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）的五角十二面体的特殊形式，五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性（英语：Octahedral Symmetry）的卡塔兰多面体菱形十二面体，它（加上所有其它的五角十二面体）都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面体还是截顶五方偏方面体的特例。其四维类比为正一百二十胞体。

十角柱

正十角柱

十角柱是一种底面为十边形的柱体，是十二面体的一种，由12个面、30条边和20个顶点组成。正十角柱代表每个面都是正多边形的十角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个十边形的公共顶点，因此具有每个角等角的性质，可以归类为半正十二面体。而顶点都是2个正方形和1个十边形的公共顶点的这种顶角，在顶点图中以 $4{.}4{.}10$ 表示。正十角柱在施莱夫利符号中可以利用{10}×{} 或 t{2, 10}来表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用来表示；在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 10 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P10来表示。若一个正十角柱底边的边长为 $s$ 、高为 $h$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[3]：

V={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2}}hs^{2}\approx 7.69421hs^{2}

S=5s\left(2h+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}s\right)\approx 5s\left(2h+3.07768s\right)

十一角锥

十一角锥是一种底面为十一边形的锥体，是十二面体的一种，其具有12个面、22条边和12个顶点，其对偶多面体是自己本身^[4]。正十一角锥是一种底面为正十一边形的十一角锥。若一个正十一角锥底边的边长为 $s$ 、高为 $h$ ，则其体积 $V$ 和表面积 $S$ 为^[4]：

V={\frac {11hs^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}}{12}}\approx 3.12188hs^{2}

S={\frac {11s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{11}}}}+s\cot {\frac {\pi }{11}}\right)}{4}}\approx 2.75s\left({\sqrt {4h^{2}+11.5987s^{2}}}+3.40569s\right)

双六角锥

双六角锥是一种以六边形为基底的双锥体，是十二面体的一种，其可以视为两个六角锥底面对底面叠合成的立体，由12个面、18条边和8个顶点组成^[5]，对偶多面体为六角柱^[5]。

侧锥七角柱

侧锥七角柱是指在七角柱的侧面上叠上锥体所构成的立体。侧锥七角柱，是十二面体的一种，共由12个面、25条边和15个顶点所组成。当侧锥七角柱的所有面都是正多边形时，其侧锥的侧面与七角柱侧面的角度将会超过180度（约为183.3度）为接近平角的优角：

{\frac {5\pi }{7}}+\arccos {\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}\approx 3.19931137\approx 183.3070388888^{\circ }

因为有超过180度的内角，因此这种多面体是凹多面体，故不属于詹森多面体。底面边数最高且属于詹森多面体多面体的侧锥柱体只到六角柱，即侧锥六角柱，其中，侧锥六角柱的侧锥与侧面的角度也十分接近平角的180度（约为174.7度）：

\arccos {\left(-{\frac {1}{2}}\right)}+\arccos {\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}\approx 3.04971172\approx 174.73561^{\circ }

侧锥七角柱
侧锥六角柱

六方偏方面体

在几何学中，六方偏方面体（英语：Hexagonal Trapezohedron）是一个由12个全等的筝形组成的多面体，为六角反角柱的对偶。所有六方偏方面体都有12个面、24条边和14个顶点^[6]。

二侧锥四角柱

二侧锥四角柱是指在四角柱的其中两个侧面上各叠上一个锥体所构成的立体。二侧锥四角柱，是十二面体的一种，共由12个面、20条边和10个顶点所组成。二侧锥四角柱可以分成两种，一种为邻二侧锥四角柱，另一种为对二侧锥四角柱，差别在叠上锥体的侧面之相对关系。

邻二侧锥四角柱是指锥体叠在四角柱相邻侧面所构成的二侧锥四角柱。由于锥体叠在相邻侧面，因此其锥体侧面与另一锥体侧面的夹角将成为优角，也就是大于180度，因此邻二侧锥四角柱是一种凹多面体。

对二侧锥四角柱是指锥体叠在四角柱相对侧面所构成的二侧锥四角柱。因为锥体叠在相对的面，因此不存在“体侧面与另一锥体侧面相邻”的情况，故满足所有二面角皆小于180度，因此是一种凸多面体。若对二侧锥四角柱叠上锥体之前的四角柱底面为正方形，则这种立体也等价于双四角锥柱，即将两相对叠上锥体的侧面视为底面，即变为“在四角柱两底面叠上锥体”所形成的立体。若这种立体又满足所有边等长的条件，则它也是詹森多面体的一种，此时若边长为 $L$ ，则其体积 $V$ 与表面积 $A$ 为：^[7]

V=L^{3}\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.471404521

A=L^{2}\cdot \left(4+2{\sqrt {3}}\right)\approx L^{2}\cdot 7.464101615

邻二侧锥四角柱
对二侧锥四角柱

五边形十二面体

五边形十二面体（pentagonal dodecahedron）是指由五边形构成的十二面体。对称性最高的五边形十二面体是正十二面体，其余还有五角十二面体、五角三四面体等多面体。

五边形十二面体几何自由度下的特殊情况
1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
h = −√5 + 1/2	h = -1	h = -√5 + 1/2	h = 0	h = √5 − 1/2	h = 1	h = √5 + 1/2
大星形十二面体是一种由正五角星组成的星形正多面体。	退化。有12个顶点位于其几何中心。	凹等边十二面体，又称为内十二面体。	将立方体的每个面分割成2个矩形的结构。	在这一系列中既等边又是凸的情况为正十二面体。	6条边退化成边长0的情况为菱形十二面体	边自相交的等边十二面体

正十二面体

正十二面体也是一种五边形十二面体，因其其也是由12个五边形构成的十二面体。在所有五边形十二面体中，正十二面体拥有最高的对称性。更多信息请参阅#正十二面体章节。

五角十二面体

五角十二面体是一种由12个不等边五边形组成的十二面体，具有四面体群对称性。其与正十二面体类似，皆是由12个全等的五边形组成，且每个顶点都是3个五边形的公共顶点^[8]，但由于其面不是正多边形，其顶点的排布未能达到五折对称性，因此不属于正多面体。部分的化学物质或矿石^[9]其晶体形状是这种形状，例如黄铁矿和部分的天然气水合物^[10]。其英文名称Pyritohedron是来自黄铁矿的英文pyrite以及多面体的字尾-hedron命名的。^[11]

天然黄铁矿（角度标于右图）

五角三四面体

五角三四面体（tetartoid）也是一种五边形十二面体，其由12个不等边五边形构成，并具有手性四面体群对称性。其与正十二面体一样都由12全等的五边形面组成，且有20个顶点，每个顶点皆与三个面相邻，但，与正十二面体不同之处在于，组成五角三四面体的五边形不是规则的，并且五角三四面体没有五阶对称轴。

虽然天然的晶体结构中不存在正十二面体，但存在五角三四面体形式。五角三四面体的名称源自于其可由四面体进行陀螺变换（gyro）来构造，在康威多面体表示法以gT来表示，而其英语名称tetartoid则源自希腊语，意为四分之一，因为它具有四分之一的全八面体对称性和一半的五角十二面体群对称性。^[12]

辉砷钴矿的晶形为五角三四面体

复三方偏三角面体

复三方偏三角面体（ditrigonal scalenohedron）^[13]又称为六方偏三角面体（Hexagonal Scalenohedron），是指具有三角形二面体对称性的偏三角面体，可以视为底为扭歪六边形的双六角锥，由12个全等的不等边三角形组成^[14]^:245，共有12个面、18个边和8个顶点。在矿物学中，复三方偏三角面体是一种晶族^[15]，部分晶体的晶形可以呈复三方偏三角面体形状，例如炉甘石^[16]^:107和方解石。

复三方偏三角面体
晶形呈复三方偏三角面体的方解石

詹森多面体

在十一面体中，有4个是詹森多面体，它们分别为：正五角帐塔、扭棱锲形体、双四角锥柱、正二十面体欠二侧锥（英语：Metabidiminished icosahedron）。

名称	种类	编号	顶点	边	面	面的种类	对称性
正五角帐塔	帐塔	J₅	15	25	12	5个正三角形 5个正方形 1个正五边形 1个正十边形	C_5v, [5], (*55)
扭棱锲形体	变棱锥	J₈₄	8	18	12	12个正三角形	D_2d
双四角锥柱	双锥柱	J₁₅	10	20	12	8个正三角形 4个正方形	D_4h, [4,2], (*422)
正二十面体欠二侧锥	切割二十面体	J₆₂	10	20	12	10个正三角形 2个五边形	C_2v

十二面体列表

名称	种类	符号	顶点	边	面	χ	面的种类	对称性
正十二面体	正多面体	{5,3}	20	30^[17]	12	2	12个正五边形	I_h, H₃, [5,3], (*532)
十角柱	棱柱体	t{2,10} {10}x{}	20	30^[18]	12	2	2个十边形 10个矩形	D_10h, [8,2], (*10 2 2), order 40
十一角锥	棱锥体	( )∨{11}	12	22	12	2	1个十一边形 11个三角形	C_11v, [11], (*11 11)^[19]
双六角锥	双锥体	{ }+{6}	8	18	12	2	12个三角形	D_6h, [6,2], (*226), order 24
五角反柱	反棱柱	s{2,5}	10	20	12	2	2个五边形 10个三角形	D_5d, [2⁺,10], (2*5), order 20
截对角五方偏方面体	截对角偏方面体		20	30	12	2	2个五边形底面 10个五边形侧面	D_5d, [2⁺,10], (2*5), 20阶