勒贝格测度

在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 $A$ 的测度记作 $λ (A)$ 。一般来说，我们允许一个集合的勒贝格测度为 $\infty$ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时， $R n$ 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。

问题起源

人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射 $m$ ，它能将实数集的子集 $E$ 映射到非负实数 $m (E)$ ，并称这个数为集合 $E$ 的测度。最理想的情况下， $m$ 应该具有以下性质：

$m$ 对于实数集的所有子集 $E$ 都有定义。
对于一个区间 $[a, b]$ ， $m ([a, b])$ 应当等于其长度 $b - a$ 。
$m$ 具有可数可加性。如果 $(E n)$ 是一列不相交的集合，并且 $m$ 在其上有定义，那么 $m\left(\bigcup _{n}E_{n}\right)=\sum _{n}m(E_{n})$ ，其中 $⋃$ 表示联集。
$m$ 具有平移不变性。设集合 $E$ 及 $E + k = {x + k : x \in E}$ （即将 $E$ 的每个元素各加上同一个实数 $k$ 所得到的集合），则 $m (E + k) = m (E)$ 。

遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。

定义

区间 $I=[a,b]$ 的长度定义为 $|I|=b-a$ 。对 $E\subseteq \mathbb {R}$ ，勒贝格外测度定义为

对每一列能覆盖 $E$ 的开区间 $\{I_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ ，作长度和 $\mu =\sum _{k=0}^{\infty }{|I_{k}|}$ 。所有这些 $\mu$ 组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做 $\lambda ^{*}(E)$ 。

勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合 $E$ 满足：

对所有

A\subseteq \mathbb {R}

，皆有

\lambda ^{*}(A)=\lambda ^{*}(A\cap E)+\lambda ^{*}(A\cap E^{c}),

则 $E$ 为勒贝格σ代数的元素，称为勒贝格可测集。对勒贝格可测集，其勒贝格测度 $\lambda (E)$ 就定义为勒贝格外测度 $\lambda ^{*}(E)$ 。

不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于 $\mathbb {R}$ 的幂集。

例子

任何区间都是勒贝格可测的。闭区间 $[a,b]$ 、开区间 $(a,b)$ 的勒贝格测度都等于区间长度 $b-a$ 。
如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。
可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。
康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。
奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。

性质

设集合 $A$ 与 $B$ 是在 $R n$ 上的集合。勒贝格测度有如下的性质：

如果 $A$ 是一列区间 $(I n)$ 的笛卡尔积 $\prod _{n}I_{n}$ ，则 $A$ 是勒贝格可测的，并且 $\lambda (A)=\prod _{n}\left|I_{n}\right|$ ，其中 $| I |$ 表示区间 $I$ 的长度。
如果 $A$ 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 $(E n)$ 的并集，则 $A$ 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda \left(A\right)=\sum _{n}\lambda (E_{n})$ 。
如果 $A$ 是勒贝格可测的，那么它相对于 $\mathbb {R} ^{n}$ 的补集也是可测的。
对于每个勒贝格可测集 $A$ ， $\lambda (A)\geq 0$ 。
如果 $A$ 与 $B$ 是勒贝格可测的，且 $A \subseteq B$ ，则 $\lambda (A)\leq \lambda (B)$ 。
可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。
$\mathbb {R} ^{n}$ 上的博雷尔集（即由开集经可数多次交、并、差运算得到的集合）都是勒贝格可测的。^[1]^[2]
勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说， $E$ 是勒贝格可测集当且仅当对任意的 $\varepsilon >0$ 存在开集 $G$ 与闭集 $F$ 使得 $F\subset E\subset G$ 且 $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ 。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理）
勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。
非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 。
如果 $A$ 是勒贝格零测集，即 $\lambda (A)=0$ ，则 $A$ 的任何一个子集也是勒贝格零测集。
如果 $A$ 是勒贝格可测的，且 $B = {x + k : x \in A}$ （即将 $A$ 平移 $k$ 个单位），则 $B$ 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda (B)=\lambda (A)$ 。
如果 $A$ 是勒贝格可测的，且 $B = {kx : x \in A}$ （即将 $A$ 缩放 $k$ 倍， $k>0$ ），则 $B$ 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda (B)=k^{n}\cdot \lambda (A)$ 。
更一般地，设 $T$ 是一个线性变换， $det(T)$ 为其行列式。如果 $A$ 是勒贝格可测的，则 $T (A)$ 也是勒贝格可测的，并且 $\lambda (T(A))=|\det(T)|\lambda (A)$ 。
设 $f$ 是一个从 $A$ 到 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的连续单射函数。如果 $A$ 是勒贝格可测的，则 $f (A)$ 也是勒贝格可测的。

简要地说， $\mathbb {R} ^{n}$ 的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 $λ$ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 $\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1$ 的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度。

零测集

$\mathbb {R} ^{n}$ 的子集 A 是零测集，如果对于任意 $\varepsilon >0$ ，A 都可以用可数多个盒（即 n 个区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为 $\varepsilon$ 。所有可数集都是零测集。

如果 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集的豪斯多夫维数小于 $n$ ，那么它是关于 $n$ 维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于 $n$ ，但具有正的 $n$ 维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

勒贝格测度的构造

勒贝格测度的现代构造基于外测度^[3]，并应用卡拉西奥多里扩张定理。

固定 $n\in \mathbb {N} .$ $\mathbb {R} ^{n}$ 中的盒子是形如 $B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]$ 的集合，其中 $b_{i}\geq a_{i}$ ，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为 $\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})$