勒貝格測度

數學形式化集合的長度,面積或體積

測度論中,勒貝格測度(Lebesgue measure)是歐幾里得空間上的標準測度。對維數為1,2,3的情況,勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。它廣泛應用於實分析,特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予勒貝格測度的集合稱為勒貝格可測集;勒貝格可測集 A測度記作 λ (A) 。一般來說,我們允許一個集合的勒貝格測度為 ,但是即使如此,在假設選擇公理成立時,Rn 仍有勒貝格不可測的子集。不可測集的「奇特」行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題,它是選擇公理的一個結果。

勒貝格測度以法國數學家昂利·勒貝格命名。勒貝格於1901年首次提出這一測度,次年又給出勒貝格積分的定義,並收錄進他的學位論文中。

問題起源

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人們知道,區間的長度可以定義為端點值之差。若干個不交區間的並的長度應當是它們的長度之和。於是人們希望將長度的概念推廣到比區間更複雜的集合。

我們想構造一個映射 m ,它能將實數集的子集 E 映射到非負實數 m(E) ,並稱這個數為集合 E測度。最理想的情況下,m 應該具有以下性質:

  • m 對於實數集的所有子集 E 都有定義。
  • 對於一個區間 [a, b]m([a, b]) 應當等於其長度 ba
  • m 具有可數可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合,並且 m 在其上有定義,那麼   ,其中 表示聯集
  • m 具有平移不變性。設集合 EE+k = {x+k : xE(即將 E 的每個元素各加上同一個實數 k 所得到的集合),則 m(E+k) = m(E)

遺憾的是,這樣的映射是不存在的。人們只能退而求其次,尋找滿足其中部分條件的映射。勒貝格測度是滿足後三條性質的例子。另一個例子是若爾當測度,它只滿足有限可加性。

定義

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區間 的長度定義為 。對 ,勒貝格外測度定義為

對每一列能覆蓋 的開區間 ,作長度和 。所有這些 組成一個有下界的數集,下確界稱為勒貝格外測度,記做 

勒貝格測度定義在勒貝格σ代數上。若集合 滿足:

對所有 ,皆有 

 為勒貝格σ代數的元素,稱為勒貝格可測集。對勒貝格可測集,其勒貝格測度 就定義為勒貝格外測度 

不在勒貝格σ代數中的集合不是勒貝格可測的,這樣的集合確實存在,故勒貝格σ代數嚴格包含於 的冪集。

例子

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  • 任何區間都是勒貝格可測的。閉區間 、開區間 的勒貝格測度都等於區間長度 
  • 如果 A 是區間 [a, b] 和 [c, d]的笛卡爾積,則它是一個長方形,測度為它的面積 (ba)(dc)。
  • 博雷爾集都是勒貝格可測的。反之不然,存在不是博雷爾集的勒貝格可測集。
  • 可數集的勒貝格測度為0。特別是,有理數集的勒貝格測度為0,儘管有理數集是稠密的。
  • 康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。
  • 假設決定性公理成立,則實數集的所有子集都是勒貝格可測的。假設選擇公理成立,則可以構造出勒貝格不可測的集合,例如維塔利集。決定性公理與選擇公理是不相容的。
  • 奧斯古德曲線(Osgood curve)是平面簡單曲線,但具有大於0的勒貝格測度。龍形曲線是另一個例子。

性質

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設集合 AB 是在 Rn 上的集合。勒貝格測度有如下的性質:

  1. 如果 A 是一列區間 (In)笛卡爾積   ,則 A 是勒貝格可測的,並且   ,其中 | I | 表示區間 I 的長度。
  2. 如果 A有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集 (En)併集,則 A 也是勒貝格可測的,並且  
  3. 如果 A 是勒貝格可測的,那麼它相對於 的補集也是可測的。
  4. 對於每個勒貝格可測集 A 
  5. 如果 AB 是勒貝格可測的,且 AB ,則  
  6. 可數多個勒貝格可測集的交集或者併集,仍然是勒貝格可測的。
  7.  上的博雷爾集(即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合)都是勒貝格可測的。[1][2]
  8. 勒貝格可測集「幾乎」是開集,也「幾乎」是閉集。具體來說, 是勒貝格可測集若且唯若對任意的 存在開集 與閉集 使得  。此性質曾用來定義勒貝格可測性。(見勒貝格測度的正則性定理)
  9. 勒貝格測度既是局部有限的,又是內正則的,所以是拉東測度
  10. 非空開集的勒貝格測度嚴格大於0,所以勒貝格測度的支集是全空間 
  11. 如果 A 是勒貝格零測集,即   ,則 A 的任何一個子集也是勒貝格零測集。
  12. 如果 A 是勒貝格可測的,且 B = {x+k : xA(即將 A 平移 k 個單位),則 B 也是勒貝格可測的,並且  
  13. 如果 A 是勒貝格可測的,且 B = {kx : xA(即將 A 縮放 k 倍, ),則 B 也是勒貝格可測的,並且  
  14. 更一般地,設 T 是一個線性變換det(T) 為其行列式。如果 A 是勒貝格可測的,則 T(A) 也是勒貝格可測的,並且  
  15. f 是一個從 A 上的連續單射函數。如果 A 是勒貝格可測的,則 f(A) 也是勒貝格可測的。

簡要地說, 的勒貝格可測子集組成一個包含所有區間的笛卡爾積的σ-代數,且 λ 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足  的測度。

勒貝格測度是σ-有限測度

零測集

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 的子集 A零測集,如果對於任意 A 都可以用可數多個盒(即 n 個區間的乘積)來覆蓋,且其總體積最多為 。所有可數集都是零測集。

如果 的子集的豪斯多夫維數小於 ,那麼它是關於 維勒貝格測度的零測集。在這裏,豪斯多夫維數是相對於 上的歐幾里得度量(或任何與其利普希茨等價的度量)而言。另一方面,一個集合可能拓撲維數小於 ,但具有正的 維勒貝格測度。一個這樣的例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集,它的拓撲維數為0,但1維勒貝格測度為正數。

為了證明某個集合A是勒貝格可測的,我們通常嘗試尋找一個「較好」的集合B,與A對稱差是零測集,然後證明B可以用開集或閉集的可數交集和併集生成。

勒貝格測度的構造

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勒貝格測度的現代構造基於外測度[3],並應用卡拉西奧多里擴張定理。

固定  中的盒子是形如 的集合,其中 ,連乘號代表笛卡爾積。盒子的體積定義為 

對於 的任何子集A,可以定義它的外測度 

 是可數個盒子的集合,它們的併集覆蓋了 

然後定義集合A為勒貝格可測的,如果對於所有集合 ,都有:

 

這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。對於任何勒貝格可測的集合A, 其勒貝格測度定義為 

勒貝格不可測集合的存在性是選擇公理的結果。根據維塔利定理,存在實數R的一個勒貝格不可測的子集。如果A 的子集,且其測度為正,那麼A便有勒貝格不可測的子集。

1970年,Robert M. Solovay證明了,在不帶選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論中,勒貝格不可測集的存在性是不可證的(見Solovay模型)。

與其他測度的關係

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A 博雷爾可測,則其博雷爾測度與勒貝格測度一致;然而,更多的勒貝格可測集是博雷爾不可測的。博雷爾測度是平移不變的,但不是完備的。

哈爾測度可以定義在任何局部緊群上,是勒貝格測度的一個推廣(帶有加法的 是一個局部緊群)。

豪斯多夫測度(參見豪斯多夫維數)是勒貝格測度的一個推廣,對於測量 的維數比n低的子集是很有用的,例如R³上的曲線、曲面,以及分形集合。注意不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數混淆。

可以證明,無法在無窮維空間上定義類似的勒貝格測度。

參看

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參考文獻

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  1. ^ Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable?. math stack exchange. [26 September 2015]. 
  2. ^ Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?. math stack exchange. [26 September 2015]. 
  3. ^ Royden, H.L. Real analysis 3rd. New York: Macmillan. 1988: 56. ISBN 978-0024041517.