大数 (数学)

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

质数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

表示法

科学计数法

大数字通常采用科学计数法计数，即把数字记成ɑ×10ⁿ形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000写作5.9×10⁴等。

分级法

数量级	中文万进制	短级差 (美国, 东欧, 加拿大和澳大利亚英语以及现代英语)	长级差 (西欧中欧和加拿大法语以及老式英语)
10¹	十	Ten
10²	百	Hundred
10³	千	Thousand
10⁴	万
10⁶	百万	Million
10⁸	亿
10⁹	十亿	Billion	Milliard
10¹²	兆 ^[1]	Trillion	Billion
10¹⁵	千兆	Quadrillion	Billiard
10¹⁶	京
10¹⁸	百京	Quintillion	Trillion
10²⁰	垓
10²¹	十垓	Sextillion
10²⁴	秭	Septillion	Quadrillion
10²⁷	千秭	Octillion
10²⁸	穰
10³⁰	百穰	Nonillion	Quintillion
10³²	沟
10³³	十沟	Decillion
10³⁶	涧	Undecillion	Sextillion
10³⁹	千涧	Duodecillion
10⁴⁰	正
10⁴²	百正	Tredecillion	Septillion
10⁴⁴	载
10⁴⁵	十载	Quattuordecillion
10⁴⁸	极	Quindecillion	Octillion
10⁵¹	千极	Sexdecillion
10⁵²	恒河沙
10⁵⁴		Septendecillion	Nonillion
10⁵⁶	阿僧祇
10⁵⁷		Octodecillion
10⁶⁰	那由他	Novemdecillion	Decillion
10⁶³		Vigintillion
10⁶⁴	不可思议
10⁶⁶		Unvigintillion	Undecillion
10⁶⁸	无量
10⁶⁹		Duovigintillion
10⁷²	大数	Tresvigintillion	Duodecillion
10⁷⁵		Quattuorvigintillion
10⁷⁸			Tredecillion
10⁸⁴			Quattuordecillion
10⁹⁰			Quindecillion
10⁹³		Trigintillion
10⁹⁶			Sexdecillion
10¹⁰⁰	古戈尔（Googol)
10¹⁰²			Septendecillion
10¹⁰⁸			Octodecillion
10¹¹⁴			Novemdecillion
10¹²⁰			Vigintillion
10¹²³		Quadragintillion
10¹⁵³		Quinquagintillion
10¹⁸⁰			Trigintillion
10¹⁸³		Sexagintillion
10²¹³		Septuagintillion
10²⁴³		Octogintillion
10²⁷³		Nonagintillion
10³⁰³		Centillion
10⁶⁰⁰			Centillion
10³⁰⁰³		Millinillion^[2]
10⁶⁰⁰⁰			Millinillion
10^10¹⁰⁰	古戈尔普勒克斯（Googolplex)
10^{10^10¹⁰⁰}	Googolplexian

著名的大数

googol（果戈尔、古高尔）

美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）在1940年创造，代表10¹⁰⁰（1后面接100个0，按数位念作“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”，一万后念12个“亿”）

googolplex（果戈尔普莱克斯、古戈尔普勒克斯）

表示10的一个古戈尔次幂，即10^10¹⁰⁰（1后面接10¹⁰⁰个0）。

斯奎斯数（英语：Skewes' number）

表示素数计数函数与对数积分函数交叉点的数值上界，斯奎斯于1933年证明了其中一个上界，又被称作第一斯奎斯数：

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}

（左为准确值，右为近似值）。

葛立恒数（简称G64，因为必须使用64层高德纳箭号表示法才表示得出来）

TREE(3)（英语：TREE(3)）

拉约数（英语：Rayo's number）

大数记号

虽然在现实世界中，使用指数来表示大数就已经绰绰有余，但是在少数的数学问题中会用到的大数，如葛立恒数，仍然是不能用指数来表示的。为了表达这样的大数，数学家们想出了以下记号：

高德纳箭号表示法多层嵌套的指数塔，是一个简单的符号。
超运算按照加法、乘法和幂的递回模式来构造更高级的运算，本质上跟箭号表示法是一样的。
康威链式箭号表示法这种记号是箭号表示法的一种延伸，它能够表示远远超出葛立恒数的数。
斯坦豪斯-莫泽表示法透过多边形来表示大数。
超阶乘是阶乘的一个扩展。
阿克曼函数是一个二元函数，增长率非常快，跟高德纳箭号表示法是同一个等级。
旋转箭号表示法它是箭号表示法跟链式箭号表示法的延伸，并且所能构造的大数比它们更大。
BEAF就算是开头的线性数阵等级，也远远超越了上面的大多数记号。
SUPER它是上面线性数阵的延伸，能够构造出远远大于上面线性数阵的超级大数。

大数表示发展史

大数的表示最早在古希腊数学家阿基米德开始，他在理论上提出了一种表示大数的方法，但他是否创设了适当的符号不得而知。在他的著作《论数沙》中有这样一段文字：

有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛或者在世界上有人烟和没有人迹的地方，沙粒的数目都是无穷的；也有人认为沙粒的数目不是无穷的‘但是想表示沙子的数目是办不到的……但是，我要告诉大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙粒的数目，甚至还能表示把所有的海洋和洞穴都填满了沙粒，这些沙粒总数不会超过1后面有100个零。

在这段文字中，“1后面连续有100个零”即10¹⁰⁰。^[3]

参考文献

^ 目前对“兆应该表示几”有争议。在《中华人民共和国法定计量单位》的国际单位制词头中，代表一百万（10⁶）的词头mega被翻译成“兆”。台湾的《法定度量衡单位及其使用之倍数、分数之名称、定义及代号》中，代表一万亿（10¹²）的词头tera被翻译成“兆”。在中国大陆官方的《新华字典》中，“兆”的定义是“①百万②古代指万亿”。
^ Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始内容存档于2020-11-06）. Extract of page 20 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 徐品方张红. 数学符号史. 科学出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中国大陆））.

[1] 目前对“兆应该表示几”有争议。在《中华人民共和国法定计量单位》的国际单位制词头中，代表一百万（10⁶）的词头mega被翻译成“兆”。台湾的《法定度量衡单位及其使用之倍数、分数之名称、定义及代号》中，代表一万亿（10¹²）的词头tera被翻译成“兆”。在中国大陆官方的《新华字典》中，“兆”的定义是“①百万②古代指万亿”。

[2] Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始内容存档于2020-11-06）. Extract of page 20 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[3] 徐品方张红. 数学符号史. 科学出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中国大陆））.

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