大數 (數學)

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

表示法

科學計數法

大數字通常採用科學計數法計數，即把數字記成ɑ×10ⁿ形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000寫作5.9×10⁴等。

分級法

數量級	中文萬進制	短級差 (美國, 東歐, 加拿大和澳大利亞英語以及現代英語)	長級差 (西歐中歐和加拿大法語以及老式英語)
10¹	十	Ten
10²	百	Hundred
10³	千	Thousand
10⁴	萬
10⁶	百萬	Million
10⁸	億
10⁹	十億	Billion	Milliard
10¹²	兆 ^[1]	Trillion	Billion
10¹⁵	千兆	Quadrillion	Billiard
10¹⁶	京
10¹⁸	百京	Quintillion	Trillion
10²⁰	垓
10²¹	十垓	Sextillion
10²⁴	秭	Septillion	Quadrillion
10²⁷	千秭	Octillion
10²⁸	穰
10³⁰	百穰	Nonillion	Quintillion
10³²	溝
10³³	十溝	Decillion
10³⁶	澗	Undecillion	Sextillion
10³⁹	千澗	Duodecillion
10⁴⁰	正
10⁴²	百正	Tredecillion	Septillion
10⁴⁴	載
10⁴⁵	十載	Quattuordecillion
10⁴⁸	極	Quindecillion	Octillion
10⁵¹	千極	Sexdecillion
10⁵²	恆河沙
10⁵⁴		Septendecillion	Nonillion
10⁵⁶	阿僧祇
10⁵⁷		Octodecillion
10⁶⁰	那由他	Novemdecillion	Decillion
10⁶³		Vigintillion
10⁶⁴	不可思議
10⁶⁶		Unvigintillion	Undecillion
10⁶⁸	無量
10⁶⁹		Duovigintillion
10⁷²	大數	Tresvigintillion	Duodecillion
10⁷⁵		Quattuorvigintillion
10⁷⁸			Tredecillion
10⁸⁴			Quattuordecillion
10⁹⁰			Quindecillion
10⁹³		Trigintillion
10⁹⁶			Sexdecillion
10¹⁰⁰	古戈爾（Googol)
10¹⁰²			Septendecillion
10¹⁰⁸			Octodecillion
10¹¹⁴			Novemdecillion
10¹²⁰			Vigintillion
10¹²³		Quadragintillion
10¹⁵³		Quinquagintillion
10¹⁸⁰			Trigintillion
10¹⁸³		Sexagintillion
10²¹³		Septuagintillion
10²⁴³		Octogintillion
10²⁷³		Nonagintillion
10³⁰³		Centillion
10⁶⁰⁰			Centillion
10³⁰⁰³		Millinillion^[2]
10⁶⁰⁰⁰			Millinillion
10^10¹⁰⁰	古戈爾普勒克斯（Googolplex)
10^{10^10¹⁰⁰}	Googolplexian

著名的大數

googol（果戈爾、古高爾）

美國數學家愛德華·卡斯納（Edward Kasner）在1940年創造，代表10¹⁰⁰（1後面接100個0，按數位念作「一萬億億億億億億億億億億億億」，一萬後念12個「億」）

googolplex（果戈爾普萊克斯、古戈爾普勒克斯）

表示10的一個古戈爾次冪，即10^10¹⁰⁰（1後面接10¹⁰⁰個0）。

斯奎斯數（英語：Skewes' number）

表示素數計數函數與對數積分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數：

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}

（左為準確值，右為近似值）。

葛立恆數（簡稱G64，因為必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來）

TREE(3)（英語：TREE(3)）

拉約數（英語：Rayo's number）

大數記號

雖然在現實世界中，使用指數來表示大數就已經綽綽有餘，但是在少數的數學問題中會用到的大數，如葛立恆數，仍然是不能用指數來表示的。為了表達這樣的大數，數學家們想出了以下記號：

高德納箭號表示法多層嵌套的指數塔，是一個簡單的符號。
超運算按照加法、乘法和冪的遞迴模式來構造更高級的運算，本質上跟箭號表示法是一樣的。
康威鏈式箭號表示法這種記號是箭號表示法的一種延伸，它能夠表示遠遠超出葛立恆數的數。
斯坦豪斯-莫澤表示法透過多邊形來表示大數。
超階乘是階乘的一個擴展。
阿克曼函數是一個二元函數，增長率非常快，跟高德納箭號表示法是同一個等級。
旋轉箭號表示法它是箭號表示法跟鏈式箭號表示法的延伸，並且所能構造的大數比它們更大。
BEAF就算是開頭的線性數陣等級，也遠遠超越了上面的大多數記號。
SUPER它是上面線性數陣的延伸，能夠構造出遠遠大於上面線性數陣的超級大數。

大數表示發展史

大數的表示最早在古希臘數學家阿基米德開始，他在理論上提出了一種表示大數的方法，但他是否創設了適當的符號不得而知。在他的著作《論數沙》中有這樣一段文字：

有人認為，無論是在敘拉古城，還是在整個西西里島或者在世界上有人煙和沒有人跡的地方，沙粒的數目都是無窮的；也有人認為沙粒的數目不是無窮的『但是想表示沙子的數目是辦不到的……但是，我要告訴大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那麼大地方的沙粒的數目，甚至還能表示把所有的海洋和洞穴都填滿了沙粒，這些沙粒總數不會超過1後面有100個零。

在這段文字中，「1後面連續有100個零」即10¹⁰⁰。^[3]

參考文獻

^ 目前對「兆應該表示幾」有爭議。在《中華人民共和國法定計量單位》的國際單位制詞頭中，代表一百萬（10⁶）的詞頭mega被翻譯成「兆」。台灣的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一萬億（10¹²）的詞頭tera被翻譯成「兆」。在中國大陸官方的《新華字典》中，「兆」的定義是「①百萬②古代指萬億」。
^ Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始內容存檔於2020-11-06）. Extract of page 20 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ 徐品方張紅. 数学符号史. 科學出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中國大陸））.

[1] 目前對「兆應該表示幾」有爭議。在《中華人民共和國法定計量單位》的國際單位制詞頭中，代表一百萬（10⁶）的詞頭mega被翻譯成「兆」。台灣的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一萬億（10¹²）的詞頭tera被翻譯成「兆」。在中國大陸官方的《新華字典》中，「兆」的定義是「①百萬②古代指萬億」。

[2] Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始內容存檔於2020-11-06）. Extract of page 20 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[3] 徐品方張紅. 数学符号史. 科學出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中國大陸））.

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