李群(英語:Lie group/ˈl/)是一個數學概念,指具有群結構的光滑微分流形,其群作用微分結構相容。李群的名字源於挪威數學家索菲斯·李的姓氏,以其為連續變換群奠定基礎。1893年,法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯(Arthur Tresse)的論文第三頁中。[1]

群論


粗略地說,李群是連續的群,也即其元素可由幾個實參數描述。因此,李群為連續對稱性的概念提供了一個自然的模型,例如三維旋轉對稱性。李群被廣泛應用於現代數學和物理學。索菲斯·李引入李群的最初動機是為微分方程的連續對稱性建模,就像有限群被用於伽羅瓦理論代數方程的離散對稱性建模一樣。

總覽

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絕對值為1的複數集(對應於複數平面上圓心在原點、半徑為1的單位圓)是一個在複數乘法下的李群,稱為圓群

李群是光滑可微流形,因而可以用微分學來研究,這點與更一般的拓撲群不同。李群理論中的關鍵是替換掉「全局」的物件,也即群本身,而代之以其「局部」或線性化的版本。這個局部版本被索菲斯·李本人稱為該李群的「無窮小群」,而後來以「李代數」為人熟知。

李群在現代幾何學中在多個層面扮演了重要的角色。費利克斯·克萊因在他的愛爾蘭根綱領中認為,可以通過選定適當的保持某種幾何性質不變的轉換群來考察各種「幾何」。例如,歐氏幾何對應於歐式空間R3中保距轉換構成的歐幾里得群E(3);共形幾何對應於把群擴大到共形群;而在射影幾何中引起人們興趣的是射影群的不變屬性。這個觀念後來發展為G-結構的概念,其中G是流形"局部"對稱性形成的李群。

李群(以及與之關聯的李代數)在現代物理學中起到了重要作用,並通常扮演了物理系統中的對稱性。這裏,李群表示或相應的李代數表示尤為重要。 表示理論在粒子物理中被頻繁使用。一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群SO(3)(或其雙覆蓋特殊么正群SU(2)),特殊么正群SU(3)以及龐加萊群

定義與樣例

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  •  為有限維實解析流形
  • 兩個解析映射,二元運算 ,和逆映射 滿足群公理,從而具有群結構。

實李群是一個滿足下列條件的:它也是一個有限維實光滑流形,其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

 

意味着 是一個從積流形  的光滑映射。這兩個條件可以合併成一條,即映射

 

是一個從積流形  的光滑映射。

初步的樣例

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這是一個非緊緻的四維實李群;它是 的一個開子集。這個群是非連通的;它有兩個連通分量,對應於行列式的正負兩種情況。
  • 旋轉矩陣構成了 的一個子群,記為 。它自己本身也是一個李群:具體地說,它是一個與微分同胚的一維緊緻連通李群。使用旋轉角  作為參數,這個群可以被參數化為如下形式:
 
其中,角度的加法對應於 中元素的乘法,角度的相反數對應於反元素。因此,乘法和求逆操作也都是可微映射。
  • 一維仿射群是一類二維上三角陣組成的李群,其中第一個對角線上的元素為正,第二個對角線上的元素為1。因此,該群包含了如下形式的矩陣:
 

反例

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現在我們給出一個群的例子,它擁有不可數的元素,並且在某種拓撲下不是李群。我們給定如下群:

 

其中 是一個固定的無理數。這是一個環面   的子群,它在子空間拓撲下不是李群。[2] 比如說,如果我們取 中的一個點 的任意小鄰體 ,那麼  中的部分是不連通的。群 在環面上反覆纏繞,形成了一個 稠密子群。

另一方面,我們可以給群 指定另一個拓撲,使得兩點 之間的距離被定義為群H中連結   的最短路徑長度。在這個拓撲下, 通過其元素中對應的 與實直線同胚。在這種拓撲下, 僅僅是加法意義下的實數群,因此也是李群。

 是李群的一個非閉"李子群"的樣例。可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。

矩陣李群

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GL(n; C)表示複數體上的n × n可逆矩陣。GL(n, C)的任何閉子群也是一個李群[3];這類李群被稱為矩陣李群。 由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現,一些教科書把注意力限制在這類李群上,包括Hall[4]以及 Rossmann[5]等,這樣可以簡化李代數和指數映射的定義。下面是一些矩陣李群的標準樣例:

  • 定義在RC上的特殊線性群SL(n, R)SL(n, C),分別包括了元素屬於RC的、行列式為1的n × n矩陣。
  • 么正群U(n)(以及特殊么正群SU(n)), 包含了滿足 (對於特殊么正群而言,還需滿足 )的n × n複矩陣。
  • 正交群O(n)(以及特殊正交群SO(n)),包含了滿足  (對於特殊正交群而言,還需滿足 )的n × n實矩陣。

以上列舉的群均為經典群

相關概念

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與實李群相對應,復李群是在複流形上定義的(例如SL(2, C))。類似地,使用一種Q度量完備化我們可以在 p-進數上定義p-進數李群,一種滿足每個點都有一個p-進數鄰體的拓撲群。

更多李群的樣例

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李群經常出現在數學和物理學中。矩陣群代數群(大部分情況下)是由矩陣構成的群(例如正交群辛群),而這些也是李群最常見的例子。

一維李群

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一維情況下唯二的連通李群是實直線  (其群操作為加法)和由絕對值為1的複數組成的圓群   (其群操作為乘法)。  也常被記作 ,即 么正群

二維李群

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在二維情況下,如果我們只考慮簡單連通群,那麼可以通過它們的李代數來分類。若把同構的情況歸為一類,那麼此時只存在兩種李代數。與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是 (其群操作為向量加法)以及一維仿射群(在前面的小節"初步的樣例"中有介紹)。

解析李群與光滑李群

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部份書籍在定義李群時假設了解析性,本條目採相同定義。另一種進路則是定義李群為實光滑(簡記為 )流形,並具有光滑的群二元運算與反元素運算。解析條件看似較強,實則兩者等價:

定理.任意 李群上具有唯一的實解析流形結構,使得群二元運算及反元素運算皆為解析映射。此時指數映射亦為解析映射。

同態和同構

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 均為李群,二者之間的一個同態: 群同態並且是解析映射(事實上,可以證明這裏解析的條件只需滿足連續即可)。顯然,兩個同態的複合是同態。所有李群的加上同態構成一個範疇。 兩個李群之間存在一個對射,這個對射及其逆射均為同態,就稱之為同構

李代數

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李代數刻劃了李群在單位元素附近的局部性狀;藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構,可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

 為李群,其李代數 定義為 在單位元素的切空間 自然具備了向量空間結構, 上的李括積 定義如下:

  1. 定義 對自身的伴隨作用為   
  2. 取Ad對變元 在單位元素上的微分,得到李代數上的伴隨作用,通常記為  
  3. 再對變元 微分,得到映射 。定義李括積為 

不難驗證 滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質,例如:連通李群 是交換群當且僅當 是交換李代數。

李括積也可以用左不變向量場及泊松括號定義,或者取定局部坐標,用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

李群對應李代數

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 是李群, 是其子群,並帶有李群結構,使得包含映射 為浸入(不一定是閉的),則可得到子李代數 。反之,任意子李代數 透過左平移定義了 上的葉狀結構,取含單位元素的極大積分流形,便得到滿足前述條件的子群 。此子群未必是閉子群,它可能是 的稠密子集(考慮環面的例子)。

李代數的映射 未必能提昇至李群的映射 ,但可提昇至映射 ,其中  的萬有覆疊空間

指數映射

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對於任意向量 ,根據常微分方程式的基本理論,存在 中的單參數子群 使得 。由此得到的映射

 
 

稱為指數映射。它總是解析映射。

  的子群,則 ,這是指數映射一詞的緣由。

 連通且非交換時,指數映射 並非同態;局部上, 可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

一般體上的李群

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在任意乃至於概形上,都可以定義群概形;這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義,然而李群未必是代數簇

另一方面,若體 對某個絕對值是完備體,其特徵為零,則可照搬解析李群的定義以定義體 上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是 ;至於數論方面,特別涉及自守表示的研究上,則須用到 p進數體的情形。

參考條目

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參考文獻

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引用

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  1. ^ Arthur Tresse. Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations. Acta Mathematica. 1893, 18: 1–88. doi:10.1007/bf02418270. 
  2. ^ Rossmann 2001,Chapter 2.
  3. ^ Hall 2015 Corollary 3.45
  4. ^ Hall 2015
  5. ^ Rossmann 2001

來源

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  • D. Montgomery and L. Zippin, Topological Transformation Groups (1955), Interscience.
  • Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (2004), Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
  • Jean-Pierre Serre, Lie algebras and Lie groups (2005), Lecture Notes in Mathematics 1500, Springer-Verlag. ISBN 3540550089 .