直观上,实数完备性(英语:Completeness of the real numbers)意味着实数轴上(以理查德·戴德金的说法)没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点,有理数在数轴上是有间隙的,即无理数。在十进制计数法下,实数的完备性等价于:实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题,完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后,其余皆为完备性公理的等价定理

等价命题

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实数完备性可以用以下任意一个等价定理作为出发点。以下从最小上界定理出发,来证明其他等价命题。

最小上界性

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又称为上确界定理(Theorem of Least-Upper-Bound, 简称LUB),也就是

定理 — 集合    ,若   存在   ,使得:

“对所有的    ”(称    的一个上界

则存在   使得:

   的一个上界 ”且 “对所有   ,只要    的一个上界,则  

也就是说,实数非空子集有上界,则它有最小上界。其证明请参见实数的构造

柯西收敛准则

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  是实数柯西序列。设 S 为这样一个集合,其中每个实数只大于序列   中的有限个成员。 ,设   使得   。于是这个序列在区间   里出现无限多次,而且只在它的补集里最多出现有限次。这意味着   S, 因此 S 。另外   是 S 的上界。于是通过 LUB 公理,可以设 b 是 S 的最小上界,而且   。由三角不等式,当 n>N 时成立时  。所以  

满足柯西收敛准则度量空间称为完备空间,若取函数  

 

可以验证   为一度量空间,这样本节的结果也可以重新叙述为“实数系  最小上界定理等价于  完备空间。”

区间套原理

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定理声称对于任一的有界闭区间套In(例如In = [an, bn]并满足anbn),它们的交集In非空,且为闭区间 ;特别地,假若 ,则它们的交集J为一个包含且仅包含 的单点集。

单调有界定理

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如果 是一个单调的实数序列(例如单调递增: ),则这个序列具有有限极限,当且仅当序列有界。此定理可以由LUB公理证明。

聚点定理

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波尔查诺-魏尔施特拉斯定理(英语:Bolzano–Weierstrass theorem)说明, 中的一个子集 序列紧致(每个序列都有收敛子序列)当且仅当 有界闭集。更一般地,这个定理对有限维向量空间 亦有效。

参考资料

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