實數完備性可以用以下任意一個等價定理作為出發點。以下從最小上界定理出發,來證明其他等價命題。
又稱為上確界定理(Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB),也就是
也就是說,實數非空子集有上界,則它有最小上界。其證明請參見實數的構造。
設 是實數柯西序列。設 S 為這樣一個集合,其中每個實數只大於序列 中的有限個成員。 ,設 使得 , 。於是這個序列在區間 裡出現無限多次,而且只在它的補集裡最多出現有限次。這意味着 S, 因此 S 。另外 是 S 的上界。於是通過 LUB 公理,可以設 b 是 S 的最小上界,而且 。由三角不等式,當 n>N 時成立時 。所以 。
滿足柯西收斂準則的度量空間稱為完備空間,若取函數 為
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可以驗證 為一度量空間,這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 有最小上界定理等價於 為完備空間。」
定理聲稱對於任一的有界閉區間套In(例如In = [an, bn]並滿足an ≤ bn),它們的交集In非空,且為閉區間 ;特別地,假若 ,則它們的交集J為一個包含且僅包含 的單點集。
如果 是一個單調的實數序列(例如單調遞增: ),則這個序列具有有限極限,當且僅當序列有界。此定理可以由LUB公理證明。
波爾查諾-魏爾施特拉斯定理(英語:Bolzano–Weierstrass theorem)說明, 中的一個子集 是序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)當且僅當 是有界閉集。更一般地,這個定理對有限維實向量空間 亦有效。