直观上,实数完备性(英語:Completeness of the real numbers)意味着实数轴上(以理查德·戴德金的说法)没有“间隙”。这是实数区别于有理数的特点,有理数在数轴上是有间隙的,即无理数。在十进制计数法下,实数的完备性等价于:实数与一个十进制小数表示一一对应。

实数的完备性公理有一组等价命题,完备性的定义方式与实数的构造方式相关。在确立其中之一为公理后,其余皆为完备性公理的等价定理

等價命題

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实数完备性可以用以下任意一个等价定理作為出發點。以下從最小上界定理出发,來证明其他等价命题。

最小上界性

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又稱為上確界定理(Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB),也就是

定理 — 集合    ,若   存在   ,使得:

「對所有的    」(稱    的一個上界

則存在   使得:

   的一個上界 」且 「對所有   ,只要    的一個上界,則  

也就是說,实数非空子集有上界,则它有最小上界。其證明請參見實數的構造

柯西收敛准则

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  是實數柯西序列。设 S 為這樣一個集合,其中每個實數只大於序列   中的有限個成員。 ,设   使得   。於是这个序列在区间   裡出現无限多次,而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着   S, 因此 S 。另外   是 S 的上界。於是通过 LUB 公理,可以设 b 是 S 的最小上界,而且   。由三角不等式,當 n>N 時成立时  。所以  

滿足柯西收敛准则度量空間稱為完備空間,若取函數  

 

可以驗證   為一度量空間,這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系  最小上界定理等價於  完備空間。」

区间套原理

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定理聲稱對於任一的有界閉區間套In(例如In = [an, bn]並滿足anbn),它們的交集In非空,且為閉區間 ;特別地,假若 ,則它們的交集J為一個包含且僅包含 的單點集。

单调有界定理

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如果 是一个单调的实数序列(例如單調遞增: ),则这个序列具有有限极限,当且仅当序列有界。此定理可以由LUB公理證明。

聚点定理

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波爾查諾-魏爾施特拉斯定理(英語:Bolzano–Weierstrass theorem)说明, 中的一個子集 序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)当且仅当 有界閉集。更一般地,這個定理對有限维向量空间 亦有效。

参考资料

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