方塊矩陣

方塊矩陣，也稱方陣、方矩陣或正方矩陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由$n\times n\,$矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成環。除了$n=1\,$，此環並不是交換環。

M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有單位的結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。

單位矩陣$I_{n}\,$的對角線全是1而其他位置全是0，對所有$m\times n\,$矩陣$M\,$及$n\times k\,$矩陣$N\,$都有$MI_{n}=M\,$及$I_{n}N=N\,$。 例如，若$n=3\,$：

$I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\,$

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇異方陣。$n\times n\,$矩陣$A\,$是可逆當且僅當存在矩陣$B\,$使得

$AB=I_{n}(=BA)\,$。

此時$B\,$稱為$A\,$的逆矩陣，並記作$A^{-1}\,$。 所有$n\times n\,$矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般線性群。

若數字$\lambda \,$和非零向量${\vec {v}}\,$滿足$A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\,$，則${\vec {v}}\,$為$A\,$的一個特徵向量，$\lambda \,$是其對應的特徵值。數字$\lambda \,$為$A\,$的特徵值當且僅當$A-\lambda I_{n}\,$可逆，又當且僅當$p_{A}(\lambda )=0\,$。這裏，$p_{A}(x)\,$是$A\,$的特徵多項式。特徵多項式是一個$n\,$次多項式，有$n\,$個復根（考慮重根），即$A\,$有$n\,$個特徵值。

方塊矩陣$A\,$的行列式是其$n\,$個特徵值的積，但亦可經由萊布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

高斯-若爾當消元法非常重要，可以用來計算矩陣的行列式，秩，逆矩陣，並解決線性方程組。

矩陣的跡是$n\times n\,$矩陣的對角線元素之和，也是其$n\,$個特徵值之和。

所有正交矩陣都是方塊矩陣。

方塊矩陣的等價命題

線性代數中，下列關於方塊矩陣A的命題是等價的（同時成立，或同時不成立）：

1. A 可逆 ； A的反矩陣存在。
2. det(A) ≠ 0 。
3. rank(A) = n 。
4. Null(A) = 0 。
5. A的特徵值中沒有0。
6. 對任意b屬於Fⁿ，Ax = b有唯一解。
7. Ax = 0只有平凡解。
8. A^TA可逆。
9. A與單位矩陣行（列）等價。
10. A的行向量或列向量張成Fⁿ 。
11. A的零空間只有零向量。
12. A的值域為Fⁿ 。
13. A的行（列）向量構成Fⁿ (Fⁿ)中向量的線性無關集。

這裡，F為矩陣元素所屬的域。通常，這個域為實數域或複數域。