辛拓扑代数几何中,量子上同调辛流形的普通上同调环的推广。有“小环”和“大环”两种定义,一般来说后者更复杂,包含的信息也更多。系数环(一般是诺维科夫环)的选择也会对其结构产生重大影响。

普通上同调的上积描述了子流形如何相交,而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说,若它们通过伪全纯曲线相连接,就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。

量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式,因此对枚举几何有重要意义,还与数学物理镜像对称中的许多观点相关。特别是,它与辛弗洛尔同调是环同构的。

本文中X是闭辛流形,具有辛形式ω。

诺维科夫环

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X的量子上同调的系数环有多种选择,通常我们会选择能编码X的第二同调信息的环,这样下面定义的量子上积就能记录X中仿全纯曲线的信息。例如,令

 

为第二同调(torsion)。令R为任意有单位元的交换环,Λ是形式为

 

的形式幂级数的环,其中

  • 系数 来自R
  •  为形式变量,服从关系 
  • 对每个实数C,只有有限多个ω(A)小于等于CA具有非零系数 

变量 的度数为 ,其中 切丛TX的第一陈类,通过选择任意与ω相配的殆复结构,可将其视为复向量丛。因此,Λ是分次环,称作ω的诺维科夫环(其他定义亦常见)。

小量子上同调

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X模挠(torsion)的上同调。系数为Λ的小量子上同调定义为

 

其元素是形式为

 

的有限和。小量子上同调是分次R模:

 

普通上同调 通过 嵌入 ,后者由 作为Λ模生成。

 中任意两个纯度(pure degree)的上同调类ab,以及 中任意的A,定义  的唯一元素,使得

 

(右式是0亏格3点格罗莫夫-威滕不变量。)接着,定义

 

根据线性关系,可以推广为定义良好的Λ双射

 

小量子上积(small quantum cup product)。

几何解释

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 中唯一的仿全纯曲线是常值映射,其像是点。因此

 

 

于是量子上积包含普通上积;也就是说,这定义将普通上积推广到了非零类A

一般来说, 庞加莱对偶对应着通过ab的庞加莱对偶的类A的仿全纯曲线空间。所以,普通上同调认为只有当ab在一定的点上相遇才算做相交,而量子上同调则记录了ab的非零相交,只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统,可以记录所有类A的相交信息。

例子

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X为具有标准辛形式(对应富比尼–施图迪度量)和复结构的复射影平面。令 为线L的庞加莱对偶,则

 

唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类  的不变量。可得

 

 

其中δ是克罗内克δ函数。于是,

 
 

这时,可以方便地将 重命名为q,并使用更简单的系数环 ,其中的q之度为 。则

 

小量子上积的性质

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对纯度(pure degree)的ab

 

 

小量子上积满足分配律,是Λ双线性的。单位元 也是小量子同调的幺元。

小量子上积还满足结合律,这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律(gluing law)的结果。这相当于,格罗莫夫-威滕势(0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数)满足特定的三阶微分方程,即WDVV方程。

相交对

 

的定义为

 

(下标0表示 系数。)其满足结合律

 

杜布罗温联络

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基环RC时,可将向量空间 的均匀分次部分H看做复流形。小量子上积限制为H上良定义的交换积。在较温和的假设下,具有相交对 H弗罗贝尼乌斯代数

量子上积可视作是切丛TH上的联络,称作杜布罗温联络。则,量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率和零曲率条件。

大量子上同调

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存在 的邻域U,使 和杜布罗温联络赋予U弗罗贝尼乌斯流形的结构。 有量子上积

 

定义为

 

H上的积统称为大量子上同调(big quantum cohomology)。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复;但一般来说,更简单的小量子上同调并非如此。

小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息,大量子上同调则有所有n点(n ≧ 4)格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何信息,需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数,大量子上同调则对应所有n点相关函数。

参考文献

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  • McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.
  • Fulton, W; Pandharipande, R. Notes on stable maps and quantum cohomology. 1996. arXiv:alg-geom/9608011 . 
  • Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7