辛拓撲代數幾何中,量子上同調辛流形的普通上同調環的推廣。有「小環」和「大環」兩種定義,一般來說後者更複雜,包含的信息也更多。係數環(一般是諾維科夫環)的選擇也會對其結構產生重大影響。

普通上同調的上積描述了子流形如何相交,而量子上同調的量子上積則描述了子空間如何以「模糊」「量子」的方式相交。更確切地說,若它們通過偽全純曲線相連接,就是相交的。計算曲線的格羅莫夫-威滕不變量在量子上積的展開式中作為係數出現。

量子上同調表達了格羅莫夫-威滕不變量的結構或模式,因此對枚舉幾何有重要意義,還與數學物理鏡像對稱中的許多觀點相關。特別是,它與辛弗洛爾同調是環同構的。

本文中X是閉辛流形,具有辛形式ω。

諾維科夫環

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X的量子上同調的係數環有多種選擇,通常我們會選擇能編碼X的第二同調信息的環,這樣下面定義的量子上積就能記錄X中仿全純曲線的信息。例如,令

 

為第二同調(torsion)。令R為任意有單位元的交換環,Λ是形式為

 

的形式冪級數的環,其中

  • 係數 來自R
  •  為形式變量,服從關係 
  • 對每個實數C,只有有限多個ω(A)小於等於CA具有非零係數 

變量 的度數為 ,其中 切叢TX的第一陳類,通過選擇任意與ω相配的殆復結構,可將其視為復向量叢。因此,Λ是分次環,稱作ω的諾維科夫環(其他定義亦常見)。

小量子上同調

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X模撓(torsion)的上同調。係數為Λ的小量子上同調定義為

 

其元素是形式為

 

的有限和。小量子上同調是分次R模:

 

普通上同調 通過 嵌入 ,後者由 作為Λ模生成。

 中任意兩個純度(pure degree)的上同調類ab,以及 中任意的A,定義  的唯一元素,使得

 

(右式是0虧格3點格羅莫夫-威滕不變量。)接着,定義

 

根據線性關係,可以推廣為定義良好的Λ雙射

 

小量子上積(small quantum cup product)。

幾何解釋

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 中唯一的仿全純曲線是常值映射,其像是點。因此

 

 

於是量子上積包含普通上積;也就是說,這定義將普通上積推廣到了非零類A

一般來說, 龐加萊對偶對應着通過ab的龐加萊對偶的類A的仿全純曲線空間。所以,普通上同調認為只有當ab在一定的點上相遇才算做相交,而量子上同調則記錄了ab的非零相交,只要有仿全純曲線相連接即可。諾維科夫環僅僅提供了足夠大的記錄系統,可以記錄所有類A的相交信息。

例子

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X為具有標準辛形式(對應富比尼–施圖迪度量)和復結構的復射影平面。令 為線L的龐加萊對偶,則

 

唯一非零的格羅莫夫-威滕不變量是類  的不變量。可得

 

 

其中δ是克羅內克δ函數。於是,

 
 

這時,可以方便地將 重命名為q,並使用更簡單的係數環 ,其中的q之度為 。則

 

小量子上積的性質

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對純度(pure degree)的ab

 

 

小量子上積滿足分配律,是Λ雙線性的。單位元 也是小量子同調的么元。

小量子上積還滿足結合律,這是格羅莫夫-威滕不變量的膠合定律(gluing law)的結果。這相當於,格羅莫夫-威滕勢(0虧格格羅莫夫-威滕不變量的母函數)滿足特定的三階微分方程,即WDVV方程。

相交對

 

的定義為

 

(下標0表示 係數。)其滿足結合律

 

杜布羅溫聯絡

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基環RC時,可將向量空間 的均勻分次部分H看做複流形。小量子上積限制為H上良定義的交換積。在較溫和的假設下,具有相交對 H弗羅貝尼烏斯代數

量子上積可視作是切叢TH上的聯絡,稱作杜布羅溫聯絡。則,量子上積的交換性和結合性對應這個聯絡上的零撓率和零曲率條件。

大量子上同調

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存在 的鄰域U,使 和杜布羅溫聯絡賦予U弗羅貝尼烏斯流形的結構。 有量子上積

 

定義為

 

H上的積統稱為大量子上同調(big quantum cohomology)。所有0虧格格羅莫夫-威滕不變量都可從中恢復;但一般來說,更簡單的小量子上同調並非如此。

小量子上同調只有3點格羅莫夫-威滕不變量的信息,大量子上同調則有所有n點(n ≧ 4)格羅莫夫-威滕不變量的信息。為獲得某些流形的枚舉幾何信息,需要用到大量子上同調。小量子上同調對應物理學中的3點相關函數,大量子上同調則對應所有n點相關函數。

參考文獻

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  • McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1.
  • Fulton, W; Pandharipande, R. Notes on stable maps and quantum cohomology. 1996. arXiv:alg-geom/9608011 . 
  • Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7