可测函数(英语:measurable function)是保持可测空间结构的函数,也是勒贝格积分中主要讨论的函数。

正式定义

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可测函数的定义 —   可测空间。那函数   对任意   若满足:

 

则称   为一个   -   可测函数

重要范例

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实可测函数

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取本节定义中的  实数系   ,然后取:

 
 

换句话说,  是由实数开区间所生成的博雷尔代数(注意到   本身是个拓扑基),那么这样的  -   可测函数   ,通常会简称为   - 实可测函数;甚至简称为实可测函数概率论里的随机变量就是实可测函数。

博雷尔函数

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如果   正好也是拓扑空间,这时取以下两个最小σ-代数

 
 

换句话说,  是由  开集所生成的博雷尔代数  是由  开集所生成的博雷尔代数,那这样   -   可测函数   又称为   -   博雷尔函数(Borel function)。

根据拓扑空间连续函数的定义,   -   博雷尔函数必定   -   连续,但反之不成立,原因可见下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

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定理(1) —  可测空间  为一集合,且有函数   。那

 

 σ代数

证明

以下将逐条检验   是否符合σ代数的定义

(1)  

因为:

 

所以  

(2)   ,则  

  ,因为:

 

所以  

(3)可数个并集仍在  

  ,那因为:

 

所以  

综上所述,   的确是 σ代数 

定理(2) —  可测空间 集合   的一个子集族 ,那对函数   来说,以下两叙述等价:

  1. 对所有   
  2.    -   可测函数
证明

(1   2)

若对所有   都有:

 

换句话说:

 

那根据本节之定理(1)和最小σ代数   的定义有:

 

换句话说,只要   就有  ,故    -   可测函数。 

(2   1)

若对所有  都有  ,换句话说:

 

这样的话,的确可以从   推出   

定理(3) —  可测空间  拓扑空间,若: [1]

  •   -  可测函数
  •    -   连续函数

复合函数   -  可测函数。

证明

根据定理(2),   -  可测函数等价于:

“对所有的   

但因为   -   连续函数,故:

“对所有的   

  又为  -  可测函数,故可以得到   ,所以本定理得证。 

  • 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
  • 可数个实可测函数的最小上界也是可测的。
  • 可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
  • 卢辛定理


勒贝格可测函数

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勒贝格可测函数是一个实函数f : RR,使得对于每一个实数a,集合

 

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

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不是所有的函数都是可测的。例如,如果 是实数轴 的一个不可测子集,那么它的指示函数 是不可测的。

参见

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参考文献

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  1. ^ Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.