艾伦伯格–麦克莱恩空间

数学中,特别是代数拓扑中,艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群拓扑空间

G为群,n为正整数连通拓扑空间X的第n同伦群同构G、其他同伦群都平凡,则称X型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G时是阿贝尔群,则型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在,且都是弱同伦等价的。因此,可以认为指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个”或“的模型”,此外通常假定这空间是CW复形(通过CW近似总是可能的)。

艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格桑德斯·麦克莱恩,他们在1940年代末引入了此类空间。

因此,艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间,在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要,如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。 广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间 拓扑积的同伦类的空间。

例子

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  • 单位圆  
  • 无穷维复射影空间  的模型。
  • 无穷维实射影空间  
  • k单位圆楔和  ,其中 k个生成子上的自由群
  • 3维球 中任何连通结或图的补是 型,这种现象被称作“结的非球面性”,是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。[1]
  • 连通曲率非正流形M ,其中 M基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
  • 无限透镜空间  对自由作用  )的商给出,是 。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。[2]注意这包括作为  
  • 平面上n个点的构型空间 ,其中 n股上的纯辫群
  • 相应地, 的第n无序构型空间 ,其中 表示n辫群[3]
  • n球的无穷对称积  。更一般地, 对所有摩尔空间  

利用积  的事实,可构造出更多基本例子,例如n维环面  

关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注

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 、任意G 的构造与G分类空间的构造相同。注意若G含扭元(torsion element),则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术,如为阿贝尔群A构造摩尔空间 :取n个球的,每个球代表一个A的生成子,并通过上述楔和的 中相应映射附加(n+1)个胞腔(cell),实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群 由构造是平凡的。现在通过附加大于 维的胞腔,迭代杀死所有高阶同伦群 ,并定义 为包含此迭代的直极限

另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。[4]这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

乔·彼得·梅的书[5]分类空间通用丛角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈(slot),我们有规范同伦等价 ,因此有纤维化序列

 .

注意这不是上纤维化序列:空间 不是 的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从 勒雷谱序列研究 的上同调,让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

性质

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映射与上同调的同伦类间的双射

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 的一个重要性质是,对任何阿贝尔群G、任何基CW复形XX 的基映射的基同伦类集 ,同空间X的第n奇异上同调 是自然双射。因此可以说 是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于

 

有一个区别元素 ,对应幺元。上述双射由元素的拉回 给出,这与范畴论中的米田引理很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献[6],另一个利用Omega谱广义既约上同调关系的证明可见参考文献[7],主要思想也将在后面略述。

闭路空间/Omega谱

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艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间: 。此外,在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系: ,使 有阿贝尔群的结构,其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射 是群同构。

这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱,称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过 定义了基于CW复形的既约上同调论,对任何CW复形上的既约上同调论   ),有自然同构 ,其中 表示既约奇异上同调。因此,这两个上同调论重合。

在更广义的语境中,布朗可表性定理指出,基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

与同调的关系

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对给定阿贝尔群G,有稳定同伦群

 

上由映射 导出的映射。取它们的直极限,可验证这在CW复形上定义了既约同调论

 

由于  )为零, 与CW复形上系数在G中的既约奇异同调 一致。

函子性

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从上同调的万有系数定理可以看出,艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子,即对每个正整数n,若 是阿贝尔群的任何同态,则有非空集

 

满足 

其中 表示连续映射f 的同伦类。

与波斯尼科夫/怀特海塔的关系

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连通CW复形X都有波斯尼科夫塔,即空间的逆系:

 

使对每个n都有:

  1. 有交换映射 ,导出  )上的同态;
  2.   );
  3. 映射 是具有纤维 的纤维化。

对偶地,还有怀特海塔,是CW复形的序列:

 

使对每个n都有:

  1. 映射 导出  )上的同态;
  2.  是n连通的;
  3. 映射 是具有纤维 的纤维化。

塞尔谱序列的帮助下,可计算出球面的高阶同伦群。例如,   的怀特海塔,可见参考文献[8];更一般地说,使用波斯尼科夫系统的 可见参考文献。 [9]

上同调运算

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对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ,存在所有上同调运算  之间的双射,定义为  基本类)。

因此,上同调运算不能降低同调群的度,保度上同调运算对应系数同态 。这源于上同调的万有系数定理 的(n-1)连通性。

 是有限循环群时,上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时,系数在 中的 的上同调变得非常重要,[10]有关这些组别的详细列表,请参此处。[11]

群(上)同调

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可以定义群G的系数在群A中的(上)同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间 的奇异(上)同调,系数在A中。

进一步应用

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上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等,如由短正合列

 

产生的怀特海塔,其中 弦群 旋量群 的相关性在于存在分类空间 (且 )的同伦等价关系

 

注意,由于复旋量群是群扩张

 ,

弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张,因为空间 就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群 广群 的拓扑实现。由于这些同伦性质,这个构造可以推广:任何给定空间 都可以用来启动一个短正合列,可在拓扑群中去除同伦群 

另见

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注释

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  1. ^ Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's lemma and the asphericity of knots. Proceedings of the National Academy of Sciences. 15 January 1957, 43 (1): 169–172. Bibcode:1957PNAS...43..169P. PMC 528404 . PMID 16589993. doi:10.1073/pnas.43.1.169 . 
  2. ^ general topology - Unit sphere in $\mathbb{R}^\infty$ is contractible?. Mathematics Stack Exchange. [2020-09-01]. 
  3. ^ Lucas Williams "Configuration spaces for the working undergraduate"页面存档备份,存于互联网档案馆),arXiv , November 5, 2019. Retrieved 2021-06-14
  4. ^ gt.geometric topology - Explicit constructions of K(G,2)?. MathOverflow. [2020-10-28]. (原始内容存档于2024-02-07). 
  5. ^ May, J. Peter. A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). Chapter 16, section 5: University of Chicago Press. [2024-02-07]. (原始内容存档 (PDF)于2018-02-19). 
  6. ^ Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces"页面存档备份,存于互联网档案馆), Retrieved 2021-06-14
  7. ^ Allen Hatcher "Algebraic Topology"页面存档备份,存于互联网档案馆), Cambridge University Press, 2001. Retrieved 2021-06-14
  8. ^ Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces"页面存档备份,存于互联网档案馆), Retrieved 2021-06-14
  9. ^ Allen Hatcher Spectral Sequences页面存档备份,存于互联网档案馆), Retrieved 2021-04-25
  10. ^ Cary Malkievich "The Steenrod algebra", Retrieved 2021-06-14
  11. ^ Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers (PDF). [2024-02-07]. (原始内容存档 (PDF)于2023-04-22). 

参考文献

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基础文章

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嘉当研讨会与应用

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嘉当研讨会(Cartan seminar)包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果,包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。

计算整上同调环

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其他百科参考文献

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