艾倫伯格–麥克萊恩空間

數學中，特別是代數拓撲中，艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有單一非平凡同倫群的拓撲空間。

令G為群，n為正整數。連通拓撲空間X的第n同倫群$\pi _{n}(X)$若同構於G、其他同倫群都平凡，則稱X是$K(G,n)$型艾倫伯格–麥克萊恩空間。設G在$n>1$時是阿貝爾群，則$K(G,n)$型艾倫伯格–麥克萊恩空間總存在，且都是弱同倫等價的。因此，可以認為$K(G,n)$指空間的弱同倫等價類。通常將任何表示稱作「一個$K(G,n)$」或「$K(G,n)$的模型」，此外通常假定這空間是CW復形（通過CW近似總是可能的）。

艾倫伯格–麥克萊恩空間得名於塞繆爾·艾倫伯格與桑德斯·麥克萊恩，他們在1940年代末引入了此類空間。

因此，艾倫伯格–麥克萊恩空間是一類特殊的拓撲空間，在同倫論中可視作通過波斯尼科夫塔中的纖維化構建CW復形的物件。這些空間在代數拓撲的很多方面都十分重要，如球面同倫群的計算、上同調運算的定義及與奇異上同調的緊密聯繫。 廣義艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有艾倫伯格–麥克萊恩空間 $\prod _{m}K(G_{m},m)$的拓撲積的同倫類的空間。

例子

• 單位圓$S^{1}$是$K(\mathbb {Z} ,1)$。
• 無窮維復射影空間$\mathbb {CP} ^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} ,2)$的模型。
• 無窮維實射影空間$\mathbb {RP} ^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} /2,1)$。
• k個單位圓的楔和$\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}$是$K(F_{k},1)$，其中$F_{k}$是k個生成子上的自由群。
• 3維球$S^{3}$中任何連通結或圖的補是$K(G,1)$型，這種現象被稱作「結的非球面性」，是赫里斯托斯·帕帕基里亞科普洛斯於1957年提出的定理。
• 緊連通曲率非正流形M是$K(\Gamma ,1)$，其中$\Gamma =\pi _{1}(M)$是M的基本群。這是嘉當–阿達馬定理的結果。
• 無限透鏡空間$L(\infty ,q)$由$S^{\infty }$對自由作用$(z\mapsto e^{2\pi im/q}z)$（$m\in \mathbb {Z} /q$）的商給出，是$K(\mathbb {Z} /q,1)$。這可以用覆疊空間理論和無窮維球體可收縮來證明。注意這包括作為$K(\mathbb {Z} /2,1)$的$\mathbb {RP} ^{\infty }$。
• 平面上n個點的構型空間是$K(P_{n},1)$，其中$P_{n}$是n股上的純辮群。
• 相應地，$\mathbb {R} ^{2}$的第n無序構型空間是$K(B_{n},1)$，其中$B_{n}$表示n股辮群。
• n球的無窮對稱積$SP(S^{n})$是$K(\mathbb {Z} ,n)$。更一般地，$SP(M(G,n))$對所有摩爾空間$M(G,n)$是$K(G,n)$。

利用積$K(G,n)\times K(H,n)$是$K(G\times H,n)$的事實，可構造出更多基本例子，例如n維環面$\mathbb {T} ^{n}$是$K(\mathbb {Z} ^{n},1)$。

關於構造艾倫伯格–麥克萊恩空間的備註

對$n=1$、任意群G，$K(G,1)$的構造與G的分類空間的構造相同。注意若G含扭元（torsion element），則K(G,1)型CW復形都是無窮維的。

構造高階艾倫伯格-麥克萊恩空間有很多技術，如為阿貝爾群A構造摩爾空間$M(A,n)$：取n個球的楔，每個球代表一個A的生成子，並通過上述楔和的$\pi _{n}(\bigvee S^{n})$中相應映射附加(n+1)個胞腔（cell），實現生成子之間的關係。注意低階同倫群$\pi _{i<n}(M(A,n))$由構造是平凡的。現在通過附加大於$n+1$維的胞腔，迭代殺死所有高階同倫群$\pi _{i>n}(M(A,n))$，並定義$K(A,n)$為包含此迭代的直極限。

另一個有用技巧是運用單純阿貝爾群的幾何實現。這給出了代表艾倫伯格-麥克萊恩空間的單純阿貝爾群的明確表述。

喬·彼得·梅的書從分類空間與通用叢角度給出了另一種簡單構造。

由於閉路空間將同倫群降低了一圈（slot），我們有規範同倫等價$K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)$，因此有纖維化序列

$K(G,n)\to *\to K(G,n+1)$.

注意這不是上纖維化序列：空間$K(G,n+1)$不是$K(G,n)\to *$的同倫上纖維。

這個纖維化序列可用於從$K(G,n)$用勒雷譜序列研究$K(G,n+1)$的上同調，讓-皮埃爾·塞爾在利用波斯尼科夫塔和譜序列研究球面同倫群時利用了這一點。

性質

映射與上同調的同倫類間的雙射

$K(G,n)$的一個重要性質是，對任何阿貝爾群G、任何基CW復形X，X到$K(G,n)$的基映射的基同倫類集$[X,K(G,n)]$，同空間X的第n奇異上同調群$H^{n}(X,G)$是自然雙射。因此可以說$K(G,n)'s$是係數在G中的奇異上同調的表示空間。由於

${\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}$

有一個區別元素$u\in H^{n}(K(G,n),G)$，對應么元。上述雙射由元素的拉回$f\mapsto f^{*}u$給出，這與範疇論中的米田引理很相似。

此定理的構造性證明可見參考文獻，另一個利用Omega譜與廣義既約上同調關係的證明可見參考文獻，主要思想也將在後面略述。

閉路空間/Omega譜

艾倫伯格–麥克萊恩空間的閉路空間還是艾倫伯格–麥克萊恩空間：$\Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)$。此外，在閉路空間與既約緯懸之間還有伴隨關係：$[\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]$，使$[X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]$有阿貝爾群的結構，其中的運算是閉路的連結。這使得上面提到的雙射$[X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)$是群同構。

這個性質還意味着不同n的艾倫伯格–麥克萊恩空間構成Omega譜，稱作艾倫伯格–麥克萊恩空間譜。這個譜通過$X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]$定義了基於CW復形的既約上同調論，對任何CW復形上的既約上同調論$h^{*}$（$h^{n}(S^{0})=0$，$n\neq 0$），有自然同構$h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})$，其中${\tilde {H^{*}}}$表示既約奇異上同調。因此，這兩個上同調論重合。

在更廣義的語境中，布朗可表性定理指出，基CW復形上的既約上同調論來自Omega譜。

與同調的關係

對給定阿貝爾群G，有穩定同倫群

$\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))$

上由映射$\Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)$導出的映射。取它們的直極限，可驗證這在CW復形上定義了既約同調論

$h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))$

由於$h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))$（$q\neq 0$）為零，$h_{*}$與CW復形上係數在G中的既約奇異同調${\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)$一致。

函子性

從上同調的萬有係數定理可以看出，艾倫伯格–麥克萊恩空間是群的准函子，即對每個正整數n，若$a\colon G\to G'$是阿貝爾群的任何同態，則有非空集

$K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},$

滿足$K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),$

其中$[f]$表示連續映射f、$S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}$的同倫類。

與波斯尼科夫/懷特海塔的關係

連通CW復形X都有波斯尼科夫塔，即空間的逆系：

$\cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)$

使對每個n都有：

1. 有交換映射$X\to X_{n}$，導出$\pi _{i}$（$i\leq n$）上的同態；
2. $\pi _{i}(X_{n})=0$（$i>n$）；
3. 映射$X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}$是具有纖維$K(\pi _{n}(X),n)$的纖維化。

對偶地，還有懷特海塔，是CW復形的序列：

$\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X$

使對每個n都有：

1. 映射$X_{n}\to X$導出$\pi _{i}$（$i>n$）上的同態；
2. $X_{n}$是n連通的；
3. 映射$X_{n}\to X_{n-1}$是具有纖維$K(\pi _{n}(X),n-1)$的纖維化。

在塞爾譜序列的幫助下，可計算出球面的高階同倫群。例如，$\pi _{4}(S^{3})$、$\pi _{5}(S^{3})$用$S^{3}$的懷特海塔，可見參考文獻；更一般地說，使用波斯尼科夫系統的$\pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3$可見參考文獻。

上同調運算

對不變的自然數m,n、阿貝爾群G,H ，存在所有上同調運算集$\Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)$與$H^{n}(K(G,m),H)$之間的雙射，定義為$\Theta \mapsto \Theta (\alpha )$（$\alpha \in H^{m}(K(G,m),G)$是基本類）。

因此，上同調運算不能降低同調群的度，保度上同調運算對應係數同態$\operatorname {Hom} (G,H)$。這源於上同調的萬有係數定理與$K(G,m)$的(n-1)連通性。

$G=H$是有限循環群時，上同調運算的一些有趣例子是斯廷羅德平方與冪。研究這些時，係數在$\mathbb {Z} /p$中的$K(\mathbb {Z} /p,n)$的上同調變得非常重要，有關這些組別的詳細列表，請參此處。

群（上）同調

可以定義群G的係數在群A中的（上）同調為艾倫伯格–麥克萊恩空間$K(G,1)$的奇異（上）同調，係數在A中。

進一步應用

上述閉路空間構造在弦論中用於得到弦群等等，如由短正合列

$0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0$

產生的懷特海塔，其中${\text{String}}(n)$是弦群，${\text{Spin}}(n)$是旋量群。$K(\mathbb {Z} ,2)$的相關性在於存在分類空間$B\mathbb {Z}$（且$K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)$）的同倫等價關係

$K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z}$

注意，由於復旋量群是群擴張

$0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0$,

弦群在高階群理論中可看做「高階」復旋量群的擴張，因為空間$K(\mathbb {Z} ,2)$就是高階群的一個例子。它可看做是對象為單點、態射為群$U(1)$的廣群$\mathbf {B} U(1)$的拓撲實現。由於這些同倫性質，這個構造可以推廣：任何給定空間$K(\mathbb {Z} ,n)$都可以用來啟動一個短正合列，可在拓撲群中去除同倫群$\pi _{n+1}$。

另見

• 分類空間，$n=1$情形
• 布朗可表性定理，關於表示空間
• 摩爾空間，同調中的類似物

參考文獻

基礎文章

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders, Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, (Second Series), 1945, 46 (3): 480–509, JSTOR 1969165, MR 0013312, doi:10.2307/1969165 
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders. Relations between homology and homotopy groups of spaces. II. Annals of Mathematics. (Second Series). 1950, 51 (3): 514–533. JSTOR 1969365. MR 0035435. doi:10.2307/1969365. 
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders. On the groups $H(\Pi ,n)$. III. Operations and obstructions. Annals of Mathematics. 1954, 60 (3): 513–557. JSTOR 1969849. MR 0065163. doi:10.2307/1969849. 

嘉當研討會與應用

嘉當研討會（Cartan seminar）包含很多餘艾倫伯格-麥克萊恩空間的基本結果，包括其同調與上同調、計算球面同倫群的應用等。

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

計算整上同調環

• Derived functors of the divided power functors
• Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

其他百科參考文獻

• Encyclopedia of Mathematics （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• nLab的Eilenberg-Mac Lane space條目