超复数

實數域上的單位代數的元素
各种各样的
基本

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无限大

超复数复数在抽象代数中的引申,通常是实数上某个有限维的单位代数的元素。19世纪后期对超复数的研究,成为现代群表示论的根基。 此种代数举例如下:

历史

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19世纪,实数系复数系之外的若干数系,如四元数系双复数系分裂四元数系复四元数系八元数系,成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念,吸引学者研究和分类。

分类工作始于本杰明·皮尔士的1872年文章〈线性结合代数〉[1],并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士接续。重要的是,二人认定幂零元幂等元皆对分类有用。凯莱-迪克森构造利用对合,从实数系开始,生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹弗罗贝尼乌斯证明超复数的若干限制:赫维兹定理断言有限维的实复合代数英语composition algebra仅得实数系 、复数系 、四元数系 、八元数系 ,而弗罗贝尼乌斯定理英语Frobenius theorem (real division algebras)断言,实结合除代数英语associative division algebra仅得   。1958年,弗兰克·亚当斯英语Frank Adams考虑H-空间(有具单位元的连续乘法的拓扑空间)的霍普夫不变量,发表推广的结果,该结果仍将维数限制在1、2、4、8。[2]

矩阵代数对研究超复数系帮助很大。首先,矩阵提供新的超复数系,例如 实矩阵组成的代数(同构于分裂四元数)。很快,矩阵方法解明其他超复数系,因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示。1907年,约瑟夫·韦德伯恩证明,满足结合律的超复数系可表示为方阵代数或其直积[3][注 1]此后,结合代数成为较常用来称呼超复数系的术语,例如韦德伯恩在爱丁堡大学的学位论文标题便用了此术语。然而,也有不可结合的数系,例如八元数系和双曲四元数系英语Hyperbolic quaternion,也算是另一类的超复数。

汤马士·霍金斯(Thomas Hawkins)[4]解释,超复数是研究李群群表示论的踏脚石。例如,1929年,埃米·诺特发表〈超复量与表示论〉[5]。1973年,以赛亚·坎托尔英语Isaiah Kantor和索洛多夫尼科夫(A. S. Solodovnikov)出版关于超复数的德文教科书[6],该书于1989年翻译成英文。[7]

凯伦·帕歇尔英语Karen Parshall详细介绍全盛期的超复数研究[8],包括数学家特奥多尔·莫林英语Theodor Molien[9]爱德华·斯图迪英语Eduard Study[10]的贡献。关于超复数至近世代数的过渡,巴尔特·伦德特·范德瓦尔登英语Bartel van der Waerden在《代数史》[11]有三十页专论超复数。

定义

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Kantor & Solodovnikov (1989)定义超复数为实域上某个有限维代数的元素,而该代数要有单位,但无需可结合可交换[12] 该些元素可以写成一组 的线性组合,其中系数为实数 ,而基的大小 称为该代数的维数。若可行,一般将基正规化,即选取 使 。下节先考虑二超复数(即 )。

二维实代数

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关于二维实代数有以下定理:[6]:14,15[13][14]在同构意义下,实域上的二维单位代数恰有3个:复数系双曲复数系二元数系。于是,实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。

下段简述定理的证明。

因为给定的代数是二维,可选一组基 。因为代数对乘法封闭 的平方仍是代数的元素,故可写成线性组合:

 

其中 为实系数。

运用常见的配方法,两边减走 并加上 ,得:

 

所以 ,其中 是实数。 取决于此实数值,分别有三种情况:

  1.  ,则上式变成 。于是, 可视为二元数的基 中的幂零元 
  2.  ,则有 双曲复数的标准基 满足 ,故若除 以正实数 (其平方与 平方相等),得到的结果即可视为 
  3.  ,则有 。平常复数的标准基 满足 ,故若除 以正实数 (其平方与 平方互为相反数),得到的结果即可视为 

从而定理成立。

复数系是以上三个二维实代数中唯一一个。若代数具有1的非实平方根 (如双曲复数),则也有幂等元 零因子(因为 ),故此种代数必不为除代数粤语除代數。然而,此种性质有时很有用,例如双曲复数适用于描述狭义相对论劳仑兹变换

数学杂志》在2004年的某版中,称二维实代数为“广义复数”(generalized complex numbers)。[15]四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。[16]

高维例子(有多于一条非实轴)

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克利福德代数

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克利福德代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上,其等价于可以定义对称标量积 正交化该二次型,以得到基 ,满足:

 

由乘法封闭性,该向量空间的基相乘得到 克利福德数英语Multivector,即 ,皆为克利福德代数的元素,且组成该代数的基(不同于原向量空间的基),可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基 不同,该代数的其他基元素不一定反交换,而是取决于将两个因子对调时,会交换的简单因子(即 )有奇数对抑或偶数对。所以, ,但 

若不允许 (即二次型非退化英语Degenerate bilinear form),则余下的克利福德代数可记为 ,表示其为 个满足 的简单基元和 个满足 的简单基元生成的代数,而括号内的 指明此为实域上的克利福德代数,即元素的系数为实数。

该些代数称为几何代数英语Geometric algebra,组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动相位自旋,因此在古典量子力学电磁学相对论方面很有用。

此族代数包括:复数系 双曲复数系 四元数系 分裂复四元数系英语split-biquaternion 分裂四元数系 (二维空间生成的自然代数)、 (三维空间生成的自然代数,也是包立矩阵生成的代数)、时空代数英语Spacetime algebra 

代数 可以视为代数 的偶子代数 ,从而可用作描述 中的旋转。因此,复数密切关系二维空间的旋转,四元数密切关系三维空间的旋转,双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转(洛仑兹变换),余可类推。

虽然八维或以上时,凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合,任意维数的克利福德代数皆可结合。

1995年,伊恩·波蒂厄斯英语Ian R. Porteous有关克利福德代数的书中,论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况:[17]

 为实结合代数,且具有单位元 。则
  •  生成 实子代数),
  •  是任何满足 的元素,则其生成的二维子代数与 同构(复子代数),
  •  是任何满足 的元素,则其生成的二维子代数与 同构(此处 是实二元组的集合,其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构),
  •  ,且 反交换,则 生成的四维子代数同构于 四元数代数),
  •  ,且 反交换,则 生成的四维子代数同构于 (元素为 实矩阵,或分裂四元数),
  •  ,且 两两反交换,则其生成的八维子代数同构于 分裂复四元数代数英语split-biquaternion),
  •  ,且 两两反交换,则其生成的八维子代数同构于 (元素为 复矩阵,亦可视为复四元数包立代数)。

超出该些古典代数的延伸,见克利福德代数的分类英语Classification of Clifford algebras

凯莱-迪克森构造

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撇除实数系、复数系、四元数系不计,其他克利福德代数 皆含有平方为 的非实数,故不能为除代数。凯莱-迪克森构造是另一个扩展复数系的方法,其给出维数为 的数系,该些数系的基 满足:所有非实的基元两两反交换,且 。在8维或以上时(即 ),该些代数不可结合,而在16维或以上时(即 ),该些代数有零因子

此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升,其代数结构的对称性逐一失去:四元数乘法不可交换,八元数乘法不可结合,而十六元数的范数不具积性。

凯莱-迪克森构造的某些步骤中,若插入额外的符号,则得到复合代数英语composition algebra中的“分裂代数”,而非除代数:

分裂复数系:有基 ,满足 
分裂四元数系:有基 ,满足 
分裂八元数系英语split-octonion:有基 ,满足  

与复数系不同,分裂复数系并非代数闭,甚至包含非平凡的零因子幂等元。与四元数系类似,分裂四元数系亦不可交换,但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合,也含有幂零元。

张量积

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两个代数的张量积仍为代数,如此可构造更多超复数系。

作为例子,取2维实代数 (复数系)、4维实代数 (四元数系)、8维实代数 (八元数系),分别与 作张量积,依次得4维的双复数系 、8维的复四元数系 、16维的复八元数系 

其他例子

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参见

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  1. ^ 埃米尔·阿廷其后推广韦德伯恩的结果,定理因而得名阿廷-韦德伯恩定理

参考资料

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  1. ^ Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, American Journal of Mathematics, 1881, 4 (1): 221–6, JSTOR 2369153 (英语) 
  2. ^ Adams, J. F., On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One (PDF), Annals of Mathematics, July 1960, 72 (1): 20–104 [2021-07-28], JSTOR 1970147, doi:10.2307/1970147, (原始内容 (PDF)存档于2016-01-25) (英语) 
  3. ^ J.H.M. Wedderburn, On Hypercomplex Numbers, Proceedings of the London Mathematical Society, 1908, 6: 77–118 [2021-07-28], doi:10.1112/plms/s2-6.1.77, (原始内容存档于2021-08-03) (英语) 
  4. ^ Hawkins, Thomas, Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory, Archive for History of Exact Sciences, 1972, 8 (4): 243–287, S2CID 120562272, doi:10.1007/BF00328434 (英语) 
  5. ^ Noether, Emmy, Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie [Hypercomplex Quantities and the Theory of Representations], Mathematische Annalen, 1929, 30: 641–92 [2016-01-14], S2CID 120464373, doi:10.1007/BF01187794, (原始内容存档于2016-03-29) (德语) 
  6. ^ 6.0 6.1 Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1978 (德语) 
  7. ^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 (英语) 
  8. ^ Parshall, Karen, Wedderburn and the Structure of Algebras, Archive for History of Exact Sciences, 1985, 32: 223–349, S2CID 119888377, doi:10.1007/BF00348450 (英语) 
  9. ^ Molien, Theodor, Ueber Systeme höherer complexer Zahlen, Mathematische Annalen, 1893, 41 (1): 83–156 [2021-07-28], S2CID 122333076, doi:10.1007/BF01443450, (原始内容存档于2021-08-03) (德语) 
  10. ^ Study, Eduard, Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften I A (4): 147–183, 1898 (德语) 
  11. ^ van der Waerden, B.L., 10. The discovery of algebras, 11. Structure of algebras, A History of Algebra, Springer, 1985, ISBN 3-540-13610X (英语) 
  12. ^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 (英语) 
  13. ^ Yaglom, Isaak, Complex Numbers in Geometry: 10–14, 1968 (英语) 
  14. ^ Ewing, John H. (编), Numbers, Springer: 237, 1991, ISBN 3-540-97497-0 (英语) 
  15. ^ Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B., Geometry of Generalized Complex Numbers (PDF), Mathematics Magazine, 2004, 77 (2): 118–129 [2021-07-27], S2CID 7837108, doi:10.1080/0025570X.2004.11953236, (原始内容 (PDF)存档于2017-08-29) (英语) 
  16. ^ Brewer, Sky, Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers, Advances in Applied Clifford Algebras, 2013, 23 (1): 1–14, S2CID 119623082, arXiv:1203.2554 , doi:10.1007/s00006-012-0335-7 (英语) 
  17. ^ Porteous, Ian R., Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge University Press: 88–89, 1995, ISBN 0-521-55177-3 (英语)