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交换律

交换律（英语：Commutative property）是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才得到正式的定义[1][2]。

一个表示加法（ 3 + 2 = 2 + 3 ）的交换律的例子

一般用法

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交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。[3][4][5]

数学定义

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“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中[6][7]：

1. 在集合   的一二元运算   被称之为“可交换”的，若：

 
  • 一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。

2. 若称   在   下和   “可交换”，即表示：

 

3. 一二元函数 被称之为“可交换”的，若：

 .

历史

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Commutative这一词第一个已知的应用是在1814年的一本法国期刊上

对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。[8][9]且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。[10]对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记[11][12]，这一词在笔记中被用来指有著现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。[11]

相关性质

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显示加法函数对称性的图

结合律

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主条目：结合律

结合律和交换律密切相关著。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指运算元的顺序不会影响其最终结果的性质。

对称

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主条目：对称

对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对   这条线对称。举例来说，若设一函数   来表示加法（一可交换运算），所以   ，也因此   会是个如右图所见的对称函数。

例子

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日常生活中的可交换运算

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  • 洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。
  • 成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。

数学中的可交换运算

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显现出乘法 (   ) 的交换律的一个例子

两个广为人知的可交换二元运算的例子为[6]：

 
例如，   ，两个表示式都等于 9 。
 
例如，   ，两者都等于 15 。

日常生活中的不可交换运算

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串接（将字串连在一起的行为）是个不可交换运算。
  • 洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
  • 魔术方块是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF'），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF'U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

数学中的不可交换运算

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一些不可交换二元运算[13]有：

  • 减法：   ，不过可将其减法符号转换成加上其相反数，即可使用交换律。
  • 除法：  ，可将除法转换成乘上其倒数以使用交换律。
  • 矩阵乘法：
 

数学结构与交换律

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注记

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  1. ^ Cabillón & Miller，Commutative and Distributive
  2. ^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始内容存档于2021-07-13）. 
  3. ^ Axler, p.2
  4. ^ 4.0 4.1 Gallian, p.34
  5. ^ p. 26,87
  6. ^ 6.0 6.1 Krowne, p.1
  7. ^ Weisstein, Commute, p.1
  8. ^ Lumpkin, p.11
  9. ^ Gay and Shute, p.?
  10. ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
  11. ^ 11.0 11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  12. ^ O'Conner and Robertson, Servois
  13. ^ Yark, p.1
  14. ^ Gallian p.236
  15. ^ Gallian p.250
  16. ^ Gallian p.65

参考资料

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书籍

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Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
  • Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8. 
Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章

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Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
  • Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2
Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

线上资源

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另见

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