在物理学 里,作用量 (英语:action )是一个很特别、很抽象的物理量 。它表示著一个动力物理系统 内在的演化趋向。虽然与微分方程式 方法大不相同,作用量也可以被用来分析物理系统的运动,所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态,初始状态与最终状态,然后,经过求解作用量的平稳值 ,就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。
皮埃尔·德·费马 于1662年发表了费马原理 。这原理阐明:光传播的正确路径,所需的时间必定是极值 。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律 的机械性,现今,一个物理系统的运动拥有了展望与目标。
戈特弗里德·莱布尼茨 不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论:光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径;更精确地说,阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题,如果要符合实验的结果,玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍;但是,玻璃的密度大于空气,应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散 ;因此,光被约束在一个很窄的路径内。假若,河道变窄,水的流速会增加;同样地,光的路径变窄,所以光的速度变快了。
1744年,皮埃尔·莫佩尔蒂 在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中,发表了最小作用量原理 :光选择的传播路径,作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理,他证明了费马原理:光传播的正确路径,所需的时间是极值 ;他也计算出光在反射 与同介质 传播时的正确路径。1747年,莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中,应用这原理于碰撞 ,正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞;这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。
莱昂哈德·欧拉 在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ;其中,他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律,而这物理量是
∫
p
a
t
h
v
2
d
t
{\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!}
。应用这理论,欧拉成功的计算出,当粒子受到连心力 作用时,正确的抛射体运动。
在此以后,许多物理学家,包括约瑟夫·拉格朗日 、威廉·哈密顿 、理查德·费曼 等等,对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。
微分方程式时常被用来表述物理定律。微分方程式指定出,随著极小的时间、位置、或其他变数的变化,一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变,再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值,就能求得物理变数在任何点的数值。
作用量方法是一种全然不同的方法,它能够描述物理系统的运动,而且只需要设定物理变数在两点的数值,称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算,可以得到,此变数在这两点之间任何点的数值。而且,作用量方法与微分方程式方法所得到的答案完全相同。
哈密顿原理 阐明了这两种方法在物理学价位的等价:描述物理系统运动的微分方程式 ,也可以用一个等价的积分方程式 来描述。无论是关于经典力学 中的一个单独粒子、关于经典场 像电磁场 或重力场 ,这描述都是正确的。更加地,哈密顿原理已经延伸至量子力学 与量子场论 了。
用变分法 数学语言来描述,求解一个物理系统作用量的平稳值 (通常是最小值),可以得到这系统随时间的演化(就是说,系统怎样从一个状态演化到另外一个状态)。更广义地,系统的正确演化对于任何微扰 必须是平稳 的。这要求导致出描述正确演化的微分方程式。
在经典物理里,作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
最常见的作用量是一个泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
,输入是参数为时间与空间的函数 ,输出是一个纯量 。在经典力学里,输入函数是物理系统在两个时间点
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
,
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
之间广义座标
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
的演变。
作用量
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
定义为,在两个时间点之间,系统的拉格朗日量
L
{\displaystyle L\,\!}
对于时间的积分:
S
[
q
(
t
)
]
=
∫
t
1
t
2
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
。
根据哈密顿原理 ,正确的演化
q
t
r
u
e
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!}
要求平稳 的作用量
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
(最小值、最大值、鞍值 )。经过运算,结果就是拉格朗日方程式 。
简略作用量 也是一个泛函,通常标记为
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
。这里,输入函数是物理系统移动的一条路径,完全不考虑时间参数。举例而言,一个行星轨道的路径是个椭圆,一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线;在这两种状况,路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
定义为广义动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
沿著路径的积分:
S
0
=
∫
p
d
q
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!}
;
其中,
q
{\displaystyle \mathbf {q} \,\!}
是广义座标.根据莫佩尔蒂原理 ,正确路径的简略作用量
S
0
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}
是平稳的。
主条目:哈密顿主函数 。
哈密顿主函数 是由哈密顿-雅可比方程式定义的。哈密顿-雅可比方程式是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数
S
{\displaystyle S\,\!}
与泛涵
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
有密切的关系。固定住初始时间
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
和其对应的座标点
q
1
{\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!}
;而准许时间上限
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
和其对应的座标点
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
的改变。取
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
和
q
2
{\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}
为函数
S
{\displaystyle S\,\!}
的参数。换句话说,作用量函数
S
{\displaystyle S\,\!}
是拉格朗日量 对于时间的不定积分 :
S
(
q
,
P
,
t
)
=
∫
L
[
q
,
q
˙
,
t
]
d
t
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!}
。
更加地,可以证明
P
{\displaystyle \mathbf {P} \,\!}
是某常数向量
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
。所以,
S
(
q
,
P
,
t
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!}
。
主条目:哈密顿特征函数 。
假若,哈密顿量
H
{\displaystyle H\,\!}
是守恒的;
H
=
α
{\displaystyle H=\alpha \,\!}
;
其中,
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
是常数。
设定哈密顿特征函数
W
{\displaystyle W\,\!}
为
W
(
q
,
a
)
=
S
(
q
,
a
,
t
)
−
α
t
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!}
。
则哈密顿特征函数
W
{\displaystyle W\,\!}
是一个作用量。
更加地,
d
W
d
t
=
∂
W
∂
q
q
˙
=
p
q
˙
{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}
。
对于时间积分:
W
(
q
,
a
)
=
∫
p
q
˙
d
t
=
∫
p
d
q
{\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!}
。
这正是简略作用量 的方程式。
主条目:哈密顿-雅可比方程式 。
哈密顿-雅可比方程式 是经典力学的一种表述。假若,哈密顿-雅可比方程式是完全可分的;则哈密顿主函数
S
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
分出的每一个项目
S
k
(
q
k
,
P
,
t
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}
也称为"作用量"。
主条目:作用量-角度座标 。思考一个作用量-角度座标 的广义动量变数
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
,定义为在相空间 内,关于转动运动或振荡运动,广义动量的闭路径积分 :
J
k
=
∮
p
k
d
q
k
{\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!}
。
这变数
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
称为广义座标
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
的作用量;相应的正则座标 是角度
w
k
{\displaystyle w_{k}\,\!}
。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分向量;这里,只有一个纯量变数
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
被用来积分。作用量
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
等于,随著
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
沿著闭路径,
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!}
的改变。应用于几个有趣的物理系统,
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
或者是常数,或者改变非常地慢。因此,
J
k
{\displaystyle J_{k}\,\!}
时常应用于微扰理论 与缓渐不变量 的研究。
参阅重言1形式 。
哈密顿原理阐明,如果一个物理系统在两个时间点
t
1
{\displaystyle t_{1}\,\!}
、
t
2
{\displaystyle t_{2}\,\!}
的运动是正确运动,则作用量泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
的一次变分
δ
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
为零。用数学方程式表示,定义作用量为
S
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!}
。
其中,
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}
是系统的拉格朗日函数 ,广义座标
q
=
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!}
是时间的函数。
假若,
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
是系统的正确运动,则
δ
S
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!}
。
从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程式.假设
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
是系统的正确运动,让
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
成为一个微扰
δ
q
{\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!}
;微扰在轨道两个端点的值是零:
ε
(
t
1
)
=
ε
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
。
取至
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
的一阶微扰,作用量泛函的一次变分 为
δ
S
=
∫
t
1
t
2
[
L
(
q
+
ε
,
q
˙
+
ε
˙
)
−
L
(
q
,
q
˙
)
]
d
t
=
∫
t
1
t
2
(
ε
⋅
∂
L
∂
q
+
ε
˙
⋅
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
。
这里,将拉格朗日量
L
{\displaystyle L\,\!}
展开至
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
的一阶微扰。
应用分部积分法 于最右边项目,
δ
S
=
[
ε
⋅
∂
L
∂
q
˙
]
t
1
t
2
+
∫
t
1
t
2
(
ε
⋅
∂
L
∂
q
−
ε
⋅
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
。
边界条件
ε
(
t
1
)
=
ε
(
t
2
)
=
d
e
f
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}
使第一个项目归零。所以,
δ
S
=
∫
t
1
t
2
ε
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}
。
要求作用量泛函
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}
平稳。这意味著,对于正确运动的任意微扰
ε
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}
,一次变分
δ
S
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}
必须等于零:
δ
S
=
∫
t
1
t
2
ε
⋅
(
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
)
d
t
=
0
{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!}
。
请注意,还没有对广义座标
q
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}
做任何要求。现在,要求所有的广义座标都互相无关(完整限制 )。这样,根据变分法基本引理 ,可以得到拉格朗日方程式:
∂
L
∂
q
−
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!}
。
在各个物理学领域,拉格朗日方程式都被认为是非常重要的方程式,能够用来精确地理论分析许多物理系统。
对应于广义座标
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
的广义动量
p
k
{\displaystyle p_{k}\,\!}
,又称为共轭动量 ,定义为
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
。
假设
L
{\displaystyle L\,\!}
不显性地跟广义座标
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
有关,
∂
L
∂
q
k
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!}
,
则广义动量
p
k
=
d
e
f
∂
L
∂
q
˙
k
{\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}
是常数。在此种状况,座标
q
k
{\displaystyle q_{k}\,\!}
称为循环座标 。举例而言,如果用极座标系
(
r
,
θ
,
h
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}
来描述一个粒子的平面运动,而
L
{\displaystyle L\,\!}
与
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
无关,则广义动量是守恒的角动量 。
Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",(Dover Publications, New York, 1986), ISBN 0-486-65067-7 .这领域最常引用的参考书。
列夫·朗道 and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,(Butterworth-Heinenann, 1976), ISBN 0-7506-2896-0 .这本书一开始就讲解最小作用量原理。
Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,(Addison Wesley, 1980), pp. 35-69。
Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,(Simon & Schuster Macmillan, 1996), ISBN 0-02-897359-3 , OCLC 35269891 , pages 840–842。
Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",(Dover Publications, 1974), ISBN 0-486-63069-2 。非常好的古早书。
Dugas, René, "A History of Mechanics",(Dover, 1988), ISBN 0-486-65632-2 , pp. 254-275。