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四面半六面体

在几何学中，四面半六面体是一种非凸七面体，属于星形多面体及均匀多面体，也可以归类在非凸均匀多面体[1]；特别地，这个立体是所有非柱状均匀多面体中唯一拥有奇数面数的几何体[2]。其外观看起来像部分面向内凹陷的正八面体，因此可以视为正八面体的刻面半多面体[1]，故这个立体又称为半刻面八面体。其构成方式为将正八面体的面替换为3个几何中心的对角面并保留一半数量的原始三角形面构成[3]，因此这个立体也可以归类为半多面体[4]。由于其部分面通过几何中心，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点[5]。

四面半六面体
四面半六面体
（单击查看旋转模型）
类别均匀星形多面体
半多面体
对偶多面体四面半无穷星形六面体
识别
名称四面半六面体
Tetrahemihexahedron
参考索引U4, C36, W67
鲍尔斯缩写
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		Thah
数学表示法
施莱夫利符号rr{3/2,3}
{3/2}||t{3/2}在维基数据编辑
威佐夫符号
（英语：Wythoff symbol）		3/2 3 | 2 （二重复盖）
性质
面7
边12
顶点6
欧拉特征数F=7, E=12, V=6 （χ=1）
组成与布局
顶点图3.4.3/2.4
顶点布局
（英语：Vertex_configuration）		4{3}+3{4}
对称性
对称群Td, [3,3], *332
图像
立体图
3.4.3/2.4
（顶点图）

四面半无穷星形六面体
（对偶多面体）
（展开图）

性质

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四面半六面体由7个面、12条边和6个顶点组成[6]，其中，7个面中有4个三角形面和3个正方形面，这3个正方形皆通过了整个立体的几何中心。[7]组成四面半六面体的6个顶点都是两个三角形与两个正方形的公共顶点，其排列顺序为3.4.3/2.4，其中3/2表示反向相接的三角形，其顶点图为交叉四边形。组成四面半六面体的12条边皆为三角形与正方形的公共边。其整个立体与正八面体共用顶点，其去除了正八面体的其中4个三角形面，并加入了3个相互交叉并且沿对角线相互平分的正方形，因此其可以作为正八面体刻面后的结果。[2][1]

面的组成

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四面半六面体是一个半多面体，其名称中的“半”表示部分的面来自于正多面体[8]，但数量仅有正多面体的一半[9]。在这个立体中，3个正方形来自于正六面体（俗称立方体），但数量仅有正六面体的一半，因此称为半六面体。[4]此外，半多面体来自于正多面体的面也会与其原始正多面体的面有著相同的朝向，例如立方体的6个面，两两一组分别面向3个相互垂直的方位，而对应到这个立体的3个正方形面：其分别面向3个相互垂直的方位。[2]

 
四面半六面体 		 
四面半六面体的其中一个面

半刻面多面体的特性也意味著部份面会通过多面体的几何中心，并互相相交。[1]这个立体在视觉外观上，每个正方形被分成四个直角三角形，但只有2个直角三角形可见，其馀被三角形面遮蔽。[2]

顶点座标

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这个立体共享了正八面体的顶点排列方式[2]，因此其顶点座标与正八面体相同[10][11][12]：

( ±1, 0, 0 );
( 0, ±1, 0 );
( 0, 0, ±1 ).
 

二面角

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四面半六面体的二面角仅有一种，即正方形面与三角形面的交角，其值为三的平方根倒数的反馀弦值[13]：

 

展开图

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四面半六面体可以展开为展开图，然而其有部分面自相交，因此无法实际用“自相交”版的展开图来制作其模型。而若将其转变为简单多面体则需要在这多面体中相交的面上放置新的顶点和边，因此自相交的正方形会被分割为4个等腰直角三角形。[2]四面半六面体转换为简单多面体后共有16个面。[2][14]

 
四面半六面体的展开图，
虚线为自相交的位置。 		 
四面半六面体做为简单多面体时
的展开图

同时，其拓朴结构可以视为与截半立方体半形同构，因此这个立体的拓朴结构也可以视为是一种拟正则地区图（quasiregular map）；四面半六面体也可以视为截半立方体半形浸入三维空间所形成的立体。[15]

 

定向性

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四面半六面体的表面是一个不可定向的曲面[15]，即无法定义表面上特定点属于内部或外部，因为任何点都可以在不打洞的情况下经由表面找到一个路径连接该点对应的背面的位置，这个特性与克莱因瓶类似[16]。四面半六面体是唯一一种欧拉特征数为1的均匀多面体[16]，故其为投影多面体，其在实射影平面上生成的曲面与罗马曲面（英语：Roman surface）类似。[17]

 
罗马曲面（英语：Roman surface）

对偶多面体

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四面半无穷星形六面体
 
每个四角柱延伸到无穷远点上
类别均匀多面体对偶
无穷星形多面体
对偶多面体四面半六面体
识别
名称四面半无穷星形六面体
参考索引DU04
性质
面6
边12
顶点7
欧拉特征数F=6, E=12, V=7 （χ=1）
对称性
对称群Td, [3,3], *332
图像
 
四面半六面体
（对偶多面体）
主条目：四面半无穷星形六面体

四面半六面体的对偶多面体称为四面半无穷星形六面体，有时称为三维瑞士十字（3D Swiss cross）[18]。由于四面半六面体有部分面几何中心落在整个立体的几何中心上，因此其对偶多面体的顶点会落在无穷远处，即无穷实射影平面上的点[4][5]。一般来说，这样的立体无法被具象化[19]。为了具像化这种立体，温尼尔在著作《对偶模型》中将其描述为由无限高的柱体组合构成的立体[5]。四面半无穷星形六面体被具象化为3个双向延伸的正四角柱，底面为正方形，每个方向的柱体延伸到相同的无穷远点，以保持整体的对称性[20]。在实际上被具象化的模型通常只会展现这个无穷高立体的局部[21]，也就是会截去远离几何中心一定距离外的立体。温尼尔建议让这些几何形状分类到一类新的星形多面体，称为无穷星形多面体。然而，由于其包括了无穷远点，因此其无法满足多面体通常的定义，仅能被视为广义的多面体。[1]另一方面，由于其立体中心部分可以视为一个立方体，因此广义上来说，这个立体也可以视为是星形立方体的一种。[1]

在拓朴上，对偶多面体的面数通常会与原始立体的顶点数相同，因此四面半六面体的对偶多面体应包含了7个顶点，其中3个顶点位于无穷实射影平面上，在方向上对应于八面体半形（一种抽象多面体）的三个顶点；其馀四个顶点位于中央立方体，并交错地以立方体半形（在此处具象化为正四面体）的方式分布。 [22]由于这个立体有顶点位于无穷实射影平面上，因此无法定义其表面积与体积[23]。

四面半无穷星形六面体的局部结构曾出现在一些建筑结构的设计中。[24]

五复合四面半六面体

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五复合四面半六面体是四面半六面体的五复合体。[25]

 
截半十二面体 		 
五复合正八面体 		 
五复合四面半六面体 		 
五复合四面半无穷星形六面体：
五复合四面半六面体的对偶多面体

相关多面体

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刻面八面体

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刻面八面体是指不改变正八面体的顶点的情况下，将正八面体的面替换所形成的几何结构。四面半六面体是正八面体经过“半刻面”的结果；“半刻面”中的“半”表示其会产生通过几何中心的面[3]。另一种正八面体的刻面方式是将正八面体的8个三角形保留其中6个，并加入3个通过内部的折四边形，这种刻面八面体又称为反柱刻面八面体[3]。

 
反柱刻面八面体 		 
反柱刻面八面体的顶点图

由正八面体的顶点构成，但边或面连结方式与正八面体相异的立体，较知名的几个有：

 
正八面体 		 
半刻面八面体 		 
反柱刻面八面体 		 
皮特里八面体

这个立体为柏拉图立体半刻面后而成，其他也由柏拉图立体半刻面而成的立体有：[3]

 
正四面体 		 
立方体 		 
正八面体
(无“半刻面”的结果)  
半刻面立方体 		 
半刻面八面体

皮特里八面体

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皮特里八面体
 
(以不同颜色表示每个面)
类别皮特里对偶
正则地区图
对偶多面体C4:{4,6}3
数学表示法
施莱夫利符号{3,4}π
{6,4}3
{6,4}4,0[28]
性质
面4
边12
顶点6
欧拉特征数F=4, E=12, V=6 （χ=-2）
二面角(不存在)
对称性
对称群点群：Oh, [4,3], (*432)
作为正则地区图：S4×C2, 48元素[29]
特性
扭歪、正则

皮特里八面体是正八面体的皮特里对偶，可以透过将原有正八面体上取皮特里多边形构成，换句话说，皮特里八面体为由正八面体的皮特里多边形构成的立体[26]。由于正八面体的皮特里多边形为扭歪六边形，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。

皮特里八面体是一种亏格为4的不可定向立体[29]，由4个面、12条边和6个顶点组成，其中，每个面都是扭歪六边形，每个顶点都是4个扭歪六边形的公共顶点。[29]

 
正八面体的皮特里多边形 		 
构成皮特里八面体的扭歪六边形面

皮特里八面体与正八面体互为皮特里对偶，也就是说，皮特里八面体的皮特里对偶为正八面体，换句话说，即皮特里八面体的皮特里多边形为正三角形[29][30]。

拓朴结构与皮特里八面体互相对应的正则地区图其在施莱夫利符号中可以用{6,4}表示，其意义代表每个顶点都是4个六边形的公共顶点。相同的拓朴结构可透过将正四面体的顶点所有替换成交叉盖（英语：Cross-cap），并且将所有棱替换为四价顶点，同时将所有面替换成边数为原来边数两倍的面来构成。[29][31]其对应的对偶多面体在施莱夫利符号中可以用{4,6}表示，其意义代表每个顶点都是6个四边形的公共顶点，并具有6个面、12条边和4个顶点[32]。

 
皮特里八面体 		 
以正则地区图表示的皮特里八面体 		 
皮特里八面体的对偶多面体以正则地区图表示

参见

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维基共享资源上的相关多媒体资源：四面半六面体

参考文献

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Gailiunas, Paul, Finite Representations of Infinite Dual Polyhedra (PDF), people.tamu.edu, [2021-08-19], （原始内容存档 (PDF)于2021-08-19） 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Tetrahemihexahedron. software3d.com. [2021-07-29]. （原始内容存档于2021-07-29）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Inchbald, Guy. Facetting diagrams. The Mathematical Gazette (Cambridge University Press). 2006, 90 (518): 253–261. doi:10.1017/S0025557200179653. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Hart, George. Quasiregular Polyhedra. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. 1996 [6 May 2012]. （原始内容存档于2021-07-24）. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
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  9. ^ Robert Webb. Hemi-polyhedron, Stella Polyhedral Glossary. software3d.com. [2021-08-19]. （原始内容存档于2021-05-12）. 
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  18. ^ The ALCOOL Analyzer. lix.polytechnique.fr. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-30）. The tetrahemihexacron (a.k.a. "3D Swiss cross"). 
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外部链接

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