布伦特-维赛拉频率

布伦特-维赛拉频率（Brunt–Väisälä frequency）是指稳定的大气层中浮力振荡的频率。它代表著一团气块对于因对流活动而导致的垂直方向运动的稳定性。它由威尔斯气象学家大卫‧布伦特和芬兰气象学家维尔霍‧维赛拉发现，因而得名。

数学表示式

布伦特-维赛拉频率的数学表示式为：

$N={\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}}}={\sqrt {g{\frac {d(\ln \theta )}{dz}}}}$

其中 $N$ 是布伦特-维赛拉频率，$g$ 是地球表面的重力加速度，$\theta$ 是环境位温，$z$ 是从地面算起的高度。

由于当 $N$ 是实数时根式里的表达式必定是非负实数，此式成立时必定存在 ${\frac {\partial \theta }{\partial z}}\geq 0$ 的条件。注意 ${\frac {\partial \theta }{\partial z}}>0$ 代表大气稳定，${\frac {\partial \theta }{\partial z}}=0$ 代表大气中性，${\frac {\partial \theta }{\partial z}}<0$ 代表大气不稳定。

证明

根据流体静力平衡，

${\frac {\partial p(z)}{\partial z}}=-\rho (z)g$

其中 $\rho$ 是流体密度。这条公式描述的是在高度 $z$ 上，单位体积气块所受的压力 $-{\frac {\partial p}{\partial z}}{\hat {z}}$ 与其自身重力 $-\rho g{\hat {z}}$ 平衡。整个大气层大致上均符合流体静力平衡。

因此，在 $z+\delta z$ 的高度上，环境亦满足流体静力平衡：

${\frac {\partial p(z+\delta z)}{\partial z}}=-\rho (z+\delta z)g$

现在考虑一团气块从高度 $z$ 被移动至高度 $z+\delta z$。随著高度的变化，环境气压也会有所变化，使气块进行绝热过程。这个过程会持续到气块的压强和同一水平的气压持平为止，以确保气块不会再因为与环境产生水平方向的压强梯度而水平发散或者集中。但是，绝热过程也不会确保气块不受垂直方向的压力影响。事实上，当气块移动至新的高度后，其压力和重力并不平衡，因此它会在垂直方向加速。

在绝热过程中，气块的状态方程是：

$p_{a}(z)^{1-\gamma }T_{a}(z)^{\gamma }=p_{a}(z+\delta z)^{1-\gamma }T_{a}(z+\delta z)^{\gamma }$

其中 $T$ 代表温度，$\gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}$ 是绝热指数。下标 $_{a}$ 用以区分气块的参数和环境参数。

此式经整理可得：

${\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}=\left[{\frac {T_{a}(z)}{T_{a}(z+\delta z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

代入以气象学单位表示的理想气体状态方程 $p=\rho RT$ 并整理可得：

${\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}=\left[{\frac {p_{a}(z)}{p_{a}(z+\delta z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}\left[{\frac {\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

$\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{1-\gamma }}=\left[{\frac {\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

$\rho _{a}(z+\delta z)=\rho _{a}(z)\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}$

现在考虑位温的定义：

$\theta =T\left({\frac {p_{s}}{p}}\right)^{1-{\frac {1}{\gamma }}}$

其中 $p_{s}$ 是海平面气压。再次代入理想气体状态方程并整理可得：

$\theta ={\frac {p}{\rho R}}\left({\frac {p_{s}}{p}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}$

$\theta =p^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {1}{\rho R}}\right)$

在高度 $z$，环境位温的表示式为：

$\theta (z)=p(z)^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left[{\frac {1}{\rho (z)R}}\right]$

在高度 $z+\delta z$，环境位温的表示式为：

$\theta (z+\delta z)=p(z+\delta z)^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left[{\frac {1}{\rho (z+\delta z)R}}\right]$

需留意这里的 $\rho$ 是指环境密度，而非气块密度 $\rho _{a}$。

二式相除并整理可得：

${\frac {\theta (z+\delta z)}{\theta (z)}}=\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}\left[{\frac {\rho (z)}{\rho (z+\delta z}}\right]$

$\rho (z+\delta z)=\rho (z)\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}$

回到气块，在新的高度 $z+\delta z$，它所受到的压力是 $-{\frac {\partial p(z+\delta z)}{\partial z}}{\hat {z}}=\rho (z+\delta z)g{\hat {z}}$，而它所受到的重力是 $-\rho _{a}(z+\delta z)g{\hat {z}}$。因为，作用在气块的净力为：

$\rho (z+\delta z)g{\hat {z}}-\rho _{a}g(z+\delta z){\hat {z}}$

$=\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$

根据牛顿第二定律，单位体积气块的加速度是：

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}={\frac {1}{\rho _{a}}}\left({\frac {\vec {F}}{V}}\right)$

由于单位气块在高度 $z+\delta z$ 所受的净力为 ${\frac {\vec {F}}{V}}=\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$，它的运动方程是：

${\vec {a}}={\frac {1}{\rho _{a}(z+\delta z)}}\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$

又由于气块只有向垂直方向加速，即 ${\vec {a}}=a{\hat {z}}$，把运动方程去掉单位向量 ${\hat {z}}$ 后可得标量表示式：

$a={\frac {\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z+\delta z)}}g$

根据加速度的定义，考虑到 $z$ 可被视作常数，

$a={\frac {d^{2}(z+\delta z)}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}$

把上面得到的结果代入运动方程的右手边的分数，可得：

${\frac {\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z+\delta z)}}$

$={\frac {\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}-\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}{\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}}$

由于气块的压强和同一水平的气压持平，

$p_{a}(z)=p(z)$ 及 $p_{a}(z+\delta z)=p(z+\delta z)$

故上式等同：

${\frac {\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}-\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}{\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}}$

$={\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}-1$

$={\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}$

因此，气块准确的运动方程是：

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=g{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}=g\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}-1\right]$

这是一条非线性二阶常微分方程，故不能以现有方法求得其精确解。因此，我们需要把它线性化以求得大致准确的解。

方程右侧的分数可以写作：

${\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}$

$={\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}\cdot {\frac {\delta z}{\theta (z+\delta z)}}$

$={\frac {1}{\theta (z+\delta z)}}{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}\delta z$

由于气块振荡的幅度相对其高度可以忽略不计，我们可以取极限 $\delta z\rightarrow 0$，使 $\lim _{\delta z\rightarrow 0}\theta (z+\delta z)=\theta (z)$ 及 $\lim _{\delta z\rightarrow 0}{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}=-{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}$。故上式成为：

$-{\frac {1}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z$

气块的运动方程可以重新写成：

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z$

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z=0$

由于 $z$ 和 $\delta z$ 是两个独立的量，上式中的 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}$ 对于变量 $\delta z$ 而言是常数，因此我们已经把气块的运动方程线性化为一条常系数二阶常微分方程，其形式与简谐振动的运动方程 ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$一样。利用特征方程法求解可得：

$\delta z=C_{1}e^{iNt}+C_{2}e^{-iNt}=A\cos(Nt)+B\sin(Nt)$

其中要求 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}>0$。由公式可见气块的确正在进行简谐振动。$C_{1},\,C_{2},\,A,\,B$ 皆为常数，$N={\sqrt {{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}}}$ 就是气块垂直振荡的频率，即布伦特-维赛拉频率。

注意当 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}=0$ 时，布伦特-维赛拉频率为 $0$，运动方程变成 ${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=0$，其解为 $\delta z=\delta z_{0}+wt$，其中 $\delta z_{0}$ 是气块的原位移而 $w$ 是气块的垂直速度。这意味著气块会稳定上升或下降。

若 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}<0$，布伦特-维赛拉频率为一虚数，则方程的解变为 $\delta z=C_{1}e^{{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}+C_{2}e^{-{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}$。忽略较小的 $C_{2}e^{-{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}$ 项，可见气块的位移将随时间以指数增加，意味大气层中会持续出现对流活动。