布倫特-維賽拉頻率

布倫特-維賽拉頻率（Brunt–Väisälä frequency）是指穩定的大氣層中浮力振盪的頻率。它代表著一團氣塊對於因對流活動而導致的垂直方向運動的穩定性。它由威爾斯氣象學家大衛‧布倫特和芬蘭氣象學家維爾霍‧維賽拉發現，因而得名。

數學表示式

布倫特-維賽拉頻率的數學表示式為：

$N={\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}}}={\sqrt {g{\frac {d(\ln \theta )}{dz}}}}$

其中 $N$ 是布倫特-維賽拉頻率，$g$ 是地球表面的重力加速度，$\theta$ 是環境位溫，$z$ 是從地面算起的高度。

由於當 $N$ 是實數時根式裏的表達式必定是非負實數，此式成立時必定存在 ${\frac {\partial \theta }{\partial z}}\geq 0$ 的條件。注意 ${\frac {\partial \theta }{\partial z}}>0$ 代表大氣穩定，${\frac {\partial \theta }{\partial z}}=0$ 代表大氣中性，${\frac {\partial \theta }{\partial z}}<0$ 代表大氣不穩定。

證明

根據流體靜力平衡，

${\frac {\partial p(z)}{\partial z}}=-\rho (z)g$

其中 $\rho$ 是流體密度。這條公式描述的是在高度 $z$ 上，單位體積氣塊所受的壓力 $-{\frac {\partial p}{\partial z}}{\hat {z}}$ 與其自身重力 $-\rho g{\hat {z}}$ 平衡。整個大氣層大致上均符合流體靜力平衡。

因此，在 $z+\delta z$ 的高度上，環境亦滿足流體靜力平衡：

${\frac {\partial p(z+\delta z)}{\partial z}}=-\rho (z+\delta z)g$

現在考慮一團氣塊從高度 $z$ 被移動至高度 $z+\delta z$。隨著高度的變化，環境氣壓也會有所變化，使氣塊進行絕熱過程。這個過程會持續到氣塊的壓強和同一水平的氣壓持平為止，以確保氣塊不會再因為與環境產生水平方向的壓強梯度而水平發散或者集中。但是，絕熱過程也不會確保氣塊不受垂直方向的壓力影響。事實上，當氣塊移動至新的高度後，其壓力和重力並不平衡，因此它會在垂直方向加速。

在絕熱過程中，氣塊的狀態方程是：

$p_{a}(z)^{1-\gamma }T_{a}(z)^{\gamma }=p_{a}(z+\delta z)^{1-\gamma }T_{a}(z+\delta z)^{\gamma }$

其中 $T$ 代表溫度，$\gamma ={\frac {c_{P}}{c_{V}}}$ 是絕熱指數。下標 $_{a}$ 用以區分氣塊的參數和環境參數。

此式經整理可得：

${\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}=\left[{\frac {T_{a}(z)}{T_{a}(z+\delta z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

代入以氣象學單位表示的理想氣體狀態方程 $p=\rho RT$ 並整理可得：

${\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}=\left[{\frac {p_{a}(z)}{p_{a}(z+\delta z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}\left[{\frac {\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

$\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{1-\gamma }}=\left[{\frac {\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z)}}\right]^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}$

$\rho _{a}(z+\delta z)=\rho _{a}(z)\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}$

現在考慮位溫的定義：

$\theta =T\left({\frac {p_{s}}{p}}\right)^{1-{\frac {1}{\gamma }}}$

其中 $p_{s}$ 是海平面氣壓。再次代入理想氣體狀態方程並整理可得：

$\theta ={\frac {p}{\rho R}}\left({\frac {p_{s}}{p}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}$

$\theta =p^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {1}{\rho R}}\right)$

在高度 $z$，環境位溫的表示式為：

$\theta (z)=p(z)^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left[{\frac {1}{\rho (z)R}}\right]$

在高度 $z+\delta z$，環境位溫的表示式為：

$\theta (z+\delta z)=p(z+\delta z)^{\frac {1}{\gamma }}\left({\frac {1}{p_{s}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left[{\frac {1}{\rho (z+\delta z)R}}\right]$

需留意這裡的 $\rho$ 是指環境密度，而非氣塊密度 $\rho _{a}$。

二式相除並整理可得：

${\frac {\theta (z+\delta z)}{\theta (z)}}=\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}\left[{\frac {\rho (z)}{\rho (z+\delta z}}\right]$

$\rho (z+\delta z)=\rho (z)\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}$

回到氣塊，在新的高度 $z+\delta z$，它所受到的壓力是 $-{\frac {\partial p(z+\delta z)}{\partial z}}{\hat {z}}=\rho (z+\delta z)g{\hat {z}}$，而它所受到的重力是 $-\rho _{a}(z+\delta z)g{\hat {z}}$。因為，作用在氣塊的淨力為：

$\rho (z+\delta z)g{\hat {z}}-\rho _{a}g(z+\delta z){\hat {z}}$

$=\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$

根據牛頓第二定律，單位體積氣塊的加速度是：

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}={\frac {1}{\rho _{a}}}\left({\frac {\vec {F}}{V}}\right)$

由於單位氣塊在高度 $z+\delta z$ 所受的淨力為 ${\frac {\vec {F}}{V}}=\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$，它的運動方程是：

${\vec {a}}={\frac {1}{\rho _{a}(z+\delta z)}}\left[\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)\right]g{\hat {z}}$

又由於氣塊只有向垂直方向加速，即 ${\vec {a}}=a{\hat {z}}$，把運動方程去掉單位向量 ${\hat {z}}$ 後可得標量表示式：

$a={\frac {\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z+\delta z)}}g$

根據加速度的定義，考慮到 $z$ 可被視作常數，

$a={\frac {d^{2}(z+\delta z)}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}$

把上面得到的結果代入運動方程的右手邊的分數，可得：

${\frac {\rho (z+\delta z)-\rho _{a}(z+\delta z)}{\rho _{a}(z+\delta z)}}$

$={\frac {\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}-\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}{\left[{\frac {p_{a}(z+\delta z)}{p_{a}(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}}$

由於氣塊的壓強和同一水平的氣壓持平，

$p_{a}(z)=p(z)$ 及 $p_{a}(z+\delta z)=p(z+\delta z)$

故上式等同：

${\frac {\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}\right]\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}-\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}{\left[{\frac {p(z+\delta z)}{p(z)}}\right]^{\frac {1}{\gamma }}}}$

$={\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}-1$

$={\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}$

因此，氣塊準確的運動方程是：

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=g{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}=g\left[{\frac {\theta (z)}{\theta (z+\delta z)}}-1\right]$

這是一條非線性二階常微分方程，故不能以現有方法求得其精確解。因此，我們需要把它線性化以求得大致準確的解。

方程右側的分數可以寫作：

${\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\theta (z+\delta z)}}$

$={\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}\cdot {\frac {\delta z}{\theta (z+\delta z)}}$

$={\frac {1}{\theta (z+\delta z)}}{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}\delta z$

由於氣塊振盪的幅度相對其高度可以忽略不計，我們可以取極限 $\delta z\rightarrow 0$，使 $\lim _{\delta z\rightarrow 0}\theta (z+\delta z)=\theta (z)$ 及 $\lim _{\delta z\rightarrow 0}{\frac {\theta (z)-\theta (z+\delta z)}{\delta z}}=-{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}$。故上式成為：

$-{\frac {1}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z$

氣塊的運動方程可以重新寫成：

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z$

${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}\delta z=0$

由於 $z$ 和 $\delta z$ 是兩個獨立的量，上式中的 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}$ 對於變量 $\delta z$ 而言是常數，因此我們已經把氣塊的運動方程線性化為一條常係數二階常微分方程，其形式與簡諧振動的運動方程 ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$一樣。利用特徵方程法求解可得：

$\delta z=C_{1}e^{iNt}+C_{2}e^{-iNt}=A\cos(Nt)+B\sin(Nt)$

其中要求 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}>0$。由公式可見氣塊的確正在進行簡諧振動。$C_{1},\,C_{2},\,A,\,B$ 皆為常數，$N={\sqrt {{\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}}}$ 就是氣塊垂直振盪的頻率，即布倫特-維賽拉頻率。

注意當 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}=0$ 時，布倫特-維賽拉頻率為 $0$，運動方程變成 ${\frac {d^{2}(\delta z)}{dt^{2}}}=0$，其解為 $\delta z=\delta z_{0}+wt$，其中 $\delta z_{0}$ 是氣塊的原位移而 $w$ 是氣塊的垂直速度。這意味著氣塊會穩定上升或下降。

若 ${\frac {g}{\theta (z)}}{\frac {\partial \theta (z)}{\partial z}}<0$，布倫特-維賽拉頻率為一虛數，則方程的解變為 $\delta z=C_{1}e^{{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}+C_{2}e^{-{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}$。忽略較小的 $C_{2}e^{-{\sqrt {\left|{\frac {g}{\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right|}}t}$ 項，可見氣塊的位移將隨時間以指數增加，意味大氣層中會持續出現對流活動。