布莱克-舒尔斯模型

布莱克-舒尔斯模型（英语：Black-Scholes Model），简称BS模型，是一种为衍生性金融商品中的选择权定价的数学模型，由美国经济学家麦伦·休斯与费雪·布莱克首先提出。此模型适用于没有派发股利的欧式选择权。罗伯特·C·墨顿其后修改了数学模型，使其于有派发股利时亦可使用，新模型被称为布莱克-休斯-墨顿模型（英语：Black–Scholes–Merton model）。

“Black-Scholes Model”的各地常用译名
中国大陆	布莱克-舒尔斯模型
台湾	布莱克-休斯模型

此模型的应用是透过买卖价格过高或是过低的选择权，并同时与持有的资产对冲，来消除可能潜在的风险，并因此而套利。此方法也被称为“动态 Delta中性”。此公式问世后带来了选择权市场的繁荣，并且也是在投资银行与对冲基金中被广为使用的基础模型。

虽然在很多情况下被使用者进行一定的改动和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的“波动率的微笑”。然而它假设价格的变动，会符合常态分配（即俗称的钟形曲线），但在金融市场上经常出现符合统计学厚尾现象的事件，这影响此公式的有效性。

1997年，麦伦·休斯和罗伯特·C·墨顿借该模型获得诺贝尔经济学奖。费雪·布莱克不幸在1995年离世，因此未能获奖。

重要假设

BS模型假设金融市场存在最少一种风险资产（如股票）及一种无风险资产（现金或债券）。

假设金融资产是：

• 无风险资产的投资回报是不变的，此回报率称作无风险利率
• 股票价格遵从几何布朗运动（随机漫步）
• 股票在选择权有效期内不分派红利
• 股票价格服从对数常态分配，即金融资产的对数收益率服从常态分配

假设金融市场是：

• 不存在套利机会
• 能以无风险利率借出或借入任意数量的金钱
• 能买入及卖出（沽空）任意数量的股票
• 市场无摩擦，即不存在交易税收和交易成本

此外，假设选择权是欧式选择权，即只可在特定日期行权。

数学模型

符号

V(S,t)：欧式期权的理论价格

C(S,t)：认购期权的价格

P(S,t)：认沽期权的价格

ln()：自然对数

K：交割价格

S：即期价格（Spot）

τ：有效期

T：到期日

t：时间，以年为单位，例如0.5代表6个月

$\tau =T-t$

r：连续复利计无风险利率

$\sigma ^{2}$：年度化方差

N()：常态分布变量的累积分布函数

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz$

布莱克-休斯方程

对于有效期内不派发红利的欧式选择权，其价格遵从以下偏微分方程：

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

把方程重写成左右两边：

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}$

左方代表期权的时间值及与即期价格的凸性。右方代表期权长仓的无风险回报及${\frac {\partial V}{\partial S}}$股相关资产短仓。

求解过程会转换成为一个热传导方程式。

公式

利用以下约束条件，可解认购期权（Call Option）的理论值。

${\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}$

认购期权的理论价格是：

$\displaystyle C(S,t)=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r\tau }$

其中：

$d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{K}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\tau }}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\end{smallmatrix}}$

$d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{smallmatrix}}$

利用相同的方法，也可解认沽期权的理论价格：

$\displaystyle P(S,t)=N(-d_{2})Ke^{-r\tau }-N(-d_{1})S$

认购期权及认沽期权的理论价格都包含 $e^{-r\tau }$，把交割价格K以连续复利折算为现值。

$\displaystyle PV(K,t)=Ke^{-r\tau }$

派发股利的选择权定价模型

布莱克-舒尔斯模型假定在期权有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布莱克-休斯-墨顿模型，其公式如下： $\displaystyle C=S\times e^{-k\times t}\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})$

其中：

$d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r-k+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}$

$d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}$

k：表示标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付）

Ln：自然对数；

C：期权初始合理价格；

L：期权交割价格；

S：交易所金融资产现价；

T：期权有效期；

r：连续复利计无风险利率Ｈ；

$\sigma ^{2}$：年度化方差；

N()：常态分布变量的累积分布函数。

关联项目

• 金融工程学
• 金融数学
• 瓦西塞克模型
• Cox–Ingersoll–Ross model
• 长期资本管理公司

外部链接

• The Black–Scholes Model （页面存档备份，存于互联网档案馆）, global-derivatives.com
• Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences （页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Ajay Shah
• The Black–Scholes Option Pricing Model （页面存档备份，存于互联网档案馆）, optiontutor