布萊克-休斯模型

布萊克-休斯模型（英語：Black-Scholes Model），簡稱BS模型，是一種為金融衍生產品中的期權定價的數學模型，由美國經濟學家麥倫·休斯與費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股息的歐式期權。羅伯特·C·墨頓其後修改了數學模型，使其於有派發股息時亦可使用，新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型（英語：Black–Scholes–Merton model）。

「Black-Scholes Model」的各地常用譯名
中國大陸	布萊克-舒爾斯模型
臺灣	布萊克-休斯模型

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的期權，並同時與持有的資產對沖，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式問世後帶來了期權市場的繁榮，並且也是在投資銀行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情況下被使用者進行一定的改動和修正。很多經驗測試表明這個公式足夠貼近市場價格，然而也有會出現差異的時候，如著名的「波動率的微笑」。然而它假設價格的變動，會符合常態分配（即俗稱的鐘形曲線），但在金融市場上經常出現符合統計學厚尾現象的事件，這影響此公式的有效性。

1997年，麥倫·休斯和羅伯特·C·墨頓借該模型獲得諾貝爾經濟學獎。費雪·布萊克不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

重要假設

BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如股票）及一種無風險資產（現金或債券）。

假設金融資產是：

• 無風險資產的投資回報是不變的，此回報率稱作無風險利率
• 股票價格遵從幾何布朗運動（隨機漫步）
• 股票在期權有效期內不分派紅利
• 股票價格服從對數常態分配，即金融資產的對數收益率服從常態分配

假設金融市場是：

• 不存在套利機會
• 能以無風險利率借出或借入任意數量的金錢
• 能買入及賣出（沽空）任意數量的股票
• 市場無摩擦，即不存在交易稅收和交易成本

此外，假設期權是歐式期權，即只可在特定日期行權。

數學模型

符號

V(S,t)：歐式期權的理論價格

C(S,t)：認購期權的價格

P(S,t)：認沽期權的價格

ln()：自然對數

K：交割價格

S：即期價格（Spot）

τ：有效期

T：到期日

t：時間，以年為單位，例如0.5代表6個月

$\tau =T-t$

r：連續複利計無風險利率

$\sigma ^{2}$：年度化變異數

N()：常態分佈變數的累積分佈函數

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz$

布萊克-休斯方程

對於有效期內不派發紅利的歐式期權，其價格遵從以下偏微分方程：

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$

把方程重寫成左右兩邊：

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}$

左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性。右方代表期權長倉的無風險回報及${\frac {\partial V}{\partial S}}$股相關資產短倉。

求解過程會轉換成為一個熱傳導方程式。

公式

利用以下約束條件，可解認購期權（Call Option）的理論值。

${\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}$

認購期權的理論價格是：

$\displaystyle C(S,t)=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r\tau }$

其中：

$d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{K}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\tau }}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\end{smallmatrix}}$

$d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{smallmatrix}}$

利用相同的方法，也可解認沽期權的理論價格：

$\displaystyle P(S,t)=N(-d_{2})Ke^{-r\tau }-N(-d_{1})S$

認購期權及認沽期權的理論價格都包含 $e^{-r\tau }$，把交割價格K以連續複利折算為現值。

$\displaystyle PV(K,t)=Ke^{-r\tau }$

派發股息的期權定價模型

布萊克-休斯模型假定在期權有效期內標的股票不派發股息。若派發股息需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下： $\displaystyle C=S\times e^{-k\times t}\times N(d_{1})-e^{-r\times T}\times L\times N(d_{2})$

其中：

$d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r-k+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}$

$d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}$

k：表示標的股票的年股息收益率（假設股息連續支付，而不是離散分期支付）

Ln：自然對數；

C：期權初始合理價格；

L：期權交割價格；

S：交易所金融資產現價；

T：期權有效期；

r：連續複利計無風險利率Ｈ；

$\sigma ^{2}$：年度化變異數；

N()：正態分佈變數的累積分佈函數。

關聯項目

• 金融工程學
• 金融數學
• 瓦西塞克模型
• Cox–Ingersoll–Ross model
• 長期資本管理公司

外部連結

• The Black–Scholes Model （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, global-derivatives.com
• Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, by Ajay Shah
• The Black–Scholes Option Pricing Model （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, optiontutor