幻方
幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从到的连续整数组成，其中为正方形的行或列的数目。因此阶幻方有行列，并且所填充的数为从到。
幻方可以使用阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数，如果填充数为，那么有
幻方简史
编辑《系辞》云：“河出图，洛出书，圣人则之。”在宋朝之前，洛书的记述只有文字。
九宫图实物最早发现于西汉，1977年中国考古学家在安徽阜阳县双古堆西汉古墓中发现汉文帝七年（前173年）的太乙九宫占盘，乃是中国汉代幻方的实物。东汉《数术记遗》也有记载。
杨辉纵横图
编辑
南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。
构造法
编辑根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、 阶幻方和 阶幻方，其中 为自然数， 阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。
奇数阶幻方构造法
编辑右斜角降位法1
编辑假设要建构n阶幻方，n为奇数。
- 先在第一横列中央的方格填入1。
- 向右上方的格子推进，依次填入2、3、4、…、n2，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
- 若右上方的格子已有数字，则将数字填入下面的格子中。
以下图 阶幻方为例， 填写在 （第一行第三列）的位置上； 应当填写在其右上方格即 中，由于 超出顶边界，所以从最底行进入，即 ； 填写在 的右上方格 中； 填写在 的右上方格 中，由于 超出右边界，所以从最左列进入，即 ； 填写在 的右上方格 中； 应该填写的方格 已经被 所占据，因此填写在 的正下方格 中；按照上面的步骤直到所有数填入。
| 阶 | 阶 | 阶 |
魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：
| 阶 |
右斜角降位法2
编辑假设要建构n阶幻方，n为奇数。
- 先在第一横列中央的方格填入1。
- 向“右(n-1)/2格、上(n-1)/2格”的格子推进，依次填入2、3、4、…、n2，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
- 若右上方的格子已有数字，则将数字填入下面的格子中。
右斜角升位法
编辑假设要建构n阶幻方，n为奇数。
- 先在中央格的正上方一格的方格填入1。
- 向右上方的格子推进，依次填入2、3、4、…、n2，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
- 若右上方的格子已有数字，则将数字填入上面两格的格子中。
菱形法
编辑假设要建构n阶幻方，n为奇数。
- 先以对角线为两边，做一个包含n阶方阵的菱形方阵，此方阵总共有2n2-2n+1（第n个中心正方形数）个格子。
- 从这个菱形方阵中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入1、2、3、4、…、n2。
- 将原先方阵上侧外的格子向下平行移动n格，填入原方阵的空格处，相同的步骤，若格子是在下侧，往上移，若格子是在左侧，往右移，若格子是在右侧，往左移。
偶数阶幻方构造法
编辑阶幻方构造法
编辑消去对角线法
编辑- 将1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
- 将方阵以四阶方阵为单位分割（可分割成n2个四阶方阵），然后在每个四阶方阵中，对角线上的数字擦掉。
- 把擦掉的数字由大的数开始，由上到下、再由左到右，依次填入。
保留对角线法
编辑假设要建构n阶幻方，n为4的倍数。
- 将1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
- 将方阵以四阶方阵为单位分割（可分割成n2个四阶方阵），然后在每个四阶方阵中，不在对角线上的数字擦掉。
- 把擦掉的数字由大的数开始，由上到下、再由左到右，依次填入。
如4阶幻方的排列法：
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：
八阶幻方构造如下
即：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|cccc}\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\hline \diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a634984bcbba3ba69818bf693cd72e69db8c4b0c)
阶幻方构造法
编辑LUX法
编辑在(4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上“L”；在第M+1行的中间格点标上“U”，其余格点标上“L”；在第M+2行的中间格点标上“L”，其余格点标上“U”；在馀下的M-1行的格点全部标上“X”。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：
4 1 1 4 1 4 L U X 2 3 2 3 3 2
例子：
[ 68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 ]
17L 24L 1L 8L 15L
[ 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59 ]
[ 92 89 20 17 28 25 56 53 64 61 ]
23L 5L 7L 14L 16L
[ 90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 ]
[ 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85 ]
4L 6L 13U 20L 22L
[ 14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 ]
[ 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12 ]
10U 12U 19L 21U 3U
[ 38 39 46 47 74 75 82 83 10 11 ]
[ 41 44 69 72 97 100 5 8 33 36 ]
11X 18X 25X 2X 9X
[ 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34 ]
斯特拉奇法
编辑任何阶数的幻方都适用的构造法
编辑艾歆缇雅法
编辑此方法可用来建构任何阶数的幻方，当要建构n阶幻方时，使用两个方阵，一个填入正整数1到n各n次，另一个则填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，尽管奇数阶幻方与偶数阶幻方的填入方式有所不同。
对于奇数阶幻方：
第一个方阵：在第一横列中央的方格填入1，并且往左下角不断填入1，若超出方阵外，则向右平移n格，直到每一横列都有一个方格填入1为止，再把所有填入1的方格右边的格子填入2（若超出方阵外，则向左平移n格），再把所有填入2的方格右边的格子填入3，一直到填入n为止。
第二个方阵：在第一直行中央的方格填入0，并且往右下角不断填入1，若超出方阵外，则向上平移n格，直到每一直行都有一个方格填入0为止，再把所有填入0的方格右边的格子填入n（若超出方阵外，则向上平移n格）。再把所有填入n的方格右边的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n为止。
再把两个方阵中的数相加。
事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的n个数字都仍然各出现n次即可，唯一的条件是第一个方阵中(n+1)/2这个数字，以及第二个方阵中(n-1)*n/2这个数字，不能被替换。
对于偶数阶幻方：
第一个方阵：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行与第二直行相同，第四直行与第一直行相同，若超过四直行，则重复第一到第四直行的步骤。
第二个方阵：第一横列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二横列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三横列与第二横列相同，第四横列与第一横列相同，若超过四横列，则重复第一到第四横列的步骤。
此方法暂时只适用于4k阶的幻方。
事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的n个数字都仍然各出现n次即可，唯一的条件是第一个方阵中每个直行相对的两个数字之和必须是n+1，以及第二个方阵中每个横列相对的两个数字之和必须是n*(n-1)。
如果是4k+2阶的幻方，就必须在第二个方阵中，检查每个直行相对的两个数字之和为n*(n-1)的格子，对于这些格子，第一个方阵的对应格子。
加边法
编辑当n为大于等于5的正整数时，此方法可由n-2阶幻方外围加上一圈来构造n阶幻方。
以 阶为例子，先排出 阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上 ，有下图：
在外围加上一圈格子，把 和 这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于 。对于 这些数是： ； 。
结果如下：
方阵合成法
编辑当n可以分解成两个大于等于3的正整数a与b的乘积时，此方法可由a阶幻方与b阶幻方来构造n阶幻方。
- 以a(k)表示a阶幻方中的每一个数字加上k*a2的结果，则所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a阶幻方。
- 将b阶幻方中的数字k都用幻方a(k-1)取代。
编程语言参考实现
编辑#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{ /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
int n=0,j=0;
while(++j<17)
if(!a[j])
{
a[b[i]=j]=1;
switch(i)
{
case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
}
a[j]=0;
}
}
int main(void)
{
s(1);
printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
return 0;
}
/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/
public class magic_squre_odd {
static int[][] matrix;
static int n;
public static void magic_squre_odd_generate()
{ matrix = new int[n][n];
//所有的數初始化為0
matrix[0][(n-1)/2] = 1;
int x = 0,y = (n-1)/2;
//count:記住已經插入過的數
for(int count = 2; count<=n*n;count++)
while(true)
{
//先x-1 y+1
x--;
y++;
//判斷是否可以插入
while(true)
{//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
//判斷是否越界：
//越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
if(x<0)
{
x += n;
continue;
}
//越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
if(y>=n)
{
y -= n;
continue;
}
//循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
//如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
if (y<0){y+=n;continue;}
if(matrix[x][y] != 0 )
{
x += 2;y -= 1;
if (x>=n){x-=n;continue;}
if (y<0){y+=n;continue;}
continue;
}
break;
}
//將當前的count值賦給選出的空位
matrix[x][y]= count;
break;
}
}
public static void print()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
//System.out.println(matrix[i][j]);
System.out.print(matrix[i][j]);
System.out.print("_");
}
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args)
{ //手工輸入n的值，並確保為奇數
n = 11;
magic_squre_odd_generate();
print();
}
}
以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：
68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66 80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67 92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79 104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91 116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103 7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115 19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6 31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18 43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30 55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42 56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54
阶幻方算法的Java语言实现
编辑 /**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建4階的幻方
*
*/
public class magic_square_4m {
/**
* @param args
*/
static int matrix[][];
static int n;
static void magic_squre_4m_generate()
{
//初始化matrix
matrix = new int[n][n];
//將matrix裡的位置用數順序排列
int ini = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
matrix[i][j] = ++ini;
//輸出對調前的樣子
System.out.println("對調之前的樣子：");
print();
//然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = i + 1; j < n; j++)
{
if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
{ //對不在主付對角線上的數關於中心對調
int temp;
temp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
}
}
}
public static void print()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
System.out.print(matrix[i][j]);
System.out.print("_");
}
System.out.print("\n");
}
}
public static void main(String[] args) {
//這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方
n = 4;
magic_squre_4m_generate();
System.out.println("對調之後的樣子：");
print();
}
}
以下是本算法輸出的結果：
對調之前的樣子： 1_2_3_4_ 5_6_7_8_ 9_10_11_12_ 13_14_15_16_ 對調之後的樣子： 1_15_14_4_ 12_6_7_9_ 8_10_11_5_ 13_3_2_16_
研究价值
编辑知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。[2]
对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方阵和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。
艺术与流行文化
编辑参见
编辑参考资料
编辑引用
编辑延伸阅读
编辑- 高治源. 九宫图探秘. 香港天马图书有限公司. 2004 （中文（香港））.
- 张道鑫. 素数幻方. 香港天马图书有限公司. 2003 （中文（香港））.
- 李杭强. 趣味数学幻方. 香港天马图书有限公司. 2002 （中文（香港））.
- 林正禄. 开拓智力的奇方——幻方. 香港天马图书有限公司. 2001 （中文（香港））.
