在量子力学里,Delta位势垒是一个垒内位势为狄拉克Delta函数,垒外位势为0的位势垒。Delta位势垒问题专门研讨,在这种位势的作用中,一个移动的粒子的量子行为。我们想要知道的是,在被Delta位势垒散射的状况下,粒子的反射系数与透射系数。在许多量子力学的教科书里,这是一个常见的习题。
对于一个Delta位势垒的散射。往左与往右的行进波的振幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的行进波都以红色表示。
一个粒子独立于时间的薛丁格方程为
- ;
其中, 是约化普朗克常数, 是粒子质量, 是粒子位置, 是能量, 是波函数, 是位势,表达为
- ;
其中, 是狄拉克Delta函数, 是狄拉克Delta函数的强度。
这位势垒将一维空间分为两个区域: 与 。在任何一个区域内,位势为常数,薛丁格方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的叠加(参阅自由粒子):
- ,
- ;
其中, 、 、 、 都是必须由边界条件决定的常数,下标 与 分别标记波函数往右或往左的方向。 是波数。
由于 , 与 都是行进波。这两个波必须满足在 的边界条件:
- ,
- 。
特别注意第二个边界条件方程式,波函数随位置的导数在 并不是连续的,在位势垒两边的差额有 这么多。这方程式的推导必须用到薛丁格方程。将薛丁格方程积分于 的一个非常小的邻域:
- ;(1)
其中, 是一个非常小的数值。
方程式(1)右边的能量项目是
- 。(2)
在 的极限,这项目往著0去。
方程式(1)左边是
- (3)
根据狄拉克Delta函数的定义,
- 。(4)
而在 的极限,
- ,(5)
- 。(6)
将这些结果(4),(5),(6)代入方程式(3),稍加编排,可以得到第二个边界条件方程式:在 ,
- 。
从这两个边界条件方程式。稍加运算,可以得到以下方程式:
- ,
- 。
一个Delta位势垒的反射系数 (用红线表示)与透射系数 (用绿线表示)随著能量 的变化。在这里,能量 。能量的单位是 。经典力学的答案用虚线表示,量子力学的答案用实线表示。
由于能量是正值的,粒子可以自由的移动于位势垒外的两个半空间, 或 。可是,在Delta位势垒,粒子会遇到散射状况。设定粒子从左边入射。在Delta位势垒,粒子可能会被反射回去,或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数与透射系数。设定 , , , 。求算反射的机率幅 与透射的机率幅 :
- ,
- 。
反射系数是
- 。
透射系数是
- 。
这纯粹是一个量子力学的效应,称为量子穿隧效应;在经典力学里,透射系数等于0,粒子不可能会透射过位势垒。
- 由于模型的对称性,假若,粒子从右边入射,我们也会得到同样的答案。
- 很奇异地,给予同样的能量、质量、与狄拉克Delta函数的强度,Delta位势垒与Delta位势阱有同样的反射系数与透射系数。