代數數域

提示：此條目的主題不是數域，也不是全體代數數構成的域。

代數數域是數學中代數數論的基本概念，數域的一類，有時也被簡稱為數域，指有理數域$\mathbb {Q}$的有限擴張形成的擴域。任何代數數域都可以視作$\mathbb {Q}$上的有限維向量空間。

對代數數域的研究，或者更一般地說，對有理數域的代數擴張的研究，是代數數論的中心主題。

定義

預備知識

代數數域是域的一類。域是裝備了兩個二元運算（通常稱之為「加法」、「乘法」）的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律，完全可逆，同時乘法對加法滿足分配律（詳細定義參見域）。域的一個重要的例子是有理數域$\mathbb {Q}$。

域的擴張

域的擴張研究各類域之間的關係，最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的域F中加入不屬於此域的元素（一般以集合S記錄），規定相互間的運算法則後，「最小的」將它們都包含在內的域L稱為「F（添加S中元素得到）的擴域」。稱F是L的子域。一般將「F到L的域擴張」記作F⊂L或L/F。

向量空間

另一個基礎概念是向量空間。向量空間，特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣（具體定義參見向量空間條目）。以某個域F為係數域的向量空間（通常稱作F上的向量空間或F-向量空間），其中的向量除了可以相加減，還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件，稱為空間的基。選定了空間的基以後，空間裡的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組：$(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$。其中的n是基中向量的個數，也稱為空間的維數。

有限擴張

設L是域F的一個擴域。將L中的元素看作向量，以F作為係數域，可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的，就稱L是F的有限擴張。L作為F-向量空間的維數，稱為擴張的次數，記作[L : F]。

定義

若域L是有理數域$\mathbb {Q}$的有限擴張，則稱之為代數數域。

例子

最小最基本的代數數域是有理數域$\mathbb {Q}$。因為$\mathbb {Q}$自身是$\mathbb {Q}$-向量空間，維數是1。因此$\mathbb {Q}$是$\mathbb {Q}$自身的域擴張，$[\mathbb {Q} :\mathbb {Q} ]=1.$

高斯有理數$\mathbb {Q} (i)$（i為虛數單位）是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子，它是所有形同：

$a+bi,\;\;a,b\in \mathbb {Q}$

的數構成的集合。可以證明，$\mathbb {Q} (i)$是域，而且是$\mathbb {Q}$-向量空間，以$\{1,i\}$為基，空間維數是2。所以$\mathbb {Q} (i)$是$\mathbb {Q}$的二次擴張，$[\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} ]=2.$

給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數d，二次域$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$在$\mathbb {Q}$中添加 d的平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似，可以證明$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$是$\mathbb {Q}$-向量空間，以$\{1,{\sqrt {d}}\}$為基，空間維數是2，即$[\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}):\mathbb {Q} ]=2.$

考慮多項式方程$x^{n}=1$的n個復根$\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}$，它們被稱做n次單位根，具體可以寫作：

$\xi _{i}=e^{\frac {2i\pi }{n}},\;\;i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.$

在$\mathbb {Q}$中添加$\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}$得到的擴域稱為n次分圓域，記作$\mathbb {Q} (\xi _{n})$。可以證明$\mathbb {Q} (\xi _{n})$是有限維$\mathbb {Q}$-向量空間，維數為$\varphi (n)$（$\varphi$是數論中的歐拉函數），即$[\mathbb {Q} (\xi _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n).$

實數域$\mathbb {R}$、複數域$\mathbb {C}$和p進數域$\mathbb {Q} _{p}$都不是$\mathbb {Q}$的有限擴張，因此都不是代數數域。任何有限域都不是$\mathbb {Q}$的擴域，因此也不是代數數域。

全體規矩數構成的域${\mathcal {C}}$和全體代數數構成的域${\mathcal {A}}$（有時也被簡稱為代數數域，與本文主題同名，但不是同一個概念）不是$\mathbb {Q}$的有限擴張，因此都不是代數數域。

代數數域與代數數

代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式（不是零多項式）的根的數。顯然所有的有理數都是代數數。給定一個代數數域L，依定義，域擴張$\mathbb {Q} \subset L$是有限擴張。設其次數為正整數m。將L看作是m維$\mathbb {Q}$-向量空間，在L中任意選一個不屬於$\mathbb {Q}$的數z，它可以被看作是m維$\mathbb {Q}$-向量空間中的一個（非零）向量。考慮以下的m + 1個向量：

$1,z,z^{2},\cdots ,z^{m}$

它們都屬於L。根據向量空間的性質，它們是線性相關的。即存在不全為零的m + 1個有理數：$a_{0},a_{1},\cdots ,a_{m}$，使得：

$a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{m}z^{m}=0$.

考慮非零多項式$P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}$，$P(z)=0$，即z是多項式$P$的根。所以z是代數數。由上可知，任一代數數域的元素都是代數數。

代數整數

主條目：代數整數

代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式X - n的根，因此是代數整數。給定代數數域F，F中所有代數整數構成一個環，稱作F中的（代數）整數環，也稱為F-整數環，記作${\mathcal {O}}_{F}$。例如$\mathbb {Q}$上的代數整數環就是$\mathbb {Z}$，因此在代數數域研究中$\mathbb {Z}$也被稱作「有理整數」（有理數域中的整數），以區別於其餘的代數整數。

代數數域F中的整數環${\mathcal {O}}_{F}$與$\mathbb {Z}$有不同的代數性質。${\mathcal {O}}_{F}$不一定是唯一分解整環。舉例來說，設$F=\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})$，F中的整數環是${\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$。$2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}$都是${\mathcal {O}}_{F}$中的「素數」。正整數6，作為${\mathcal {O}}_{F}$中的元素，它的素因數分解有兩種方式：

$6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\times \left(1-{\sqrt {-5}}\right).$

有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補，由此發展出理想理論。代數數論中一個重要的事實是：${\mathcal {O}}_{F}$的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積，即為戴德金整環。這種「理想的唯一素分解」可部分彌補「代數整數一般不能唯一素因子分解」的不足，在歷史上使代數數論發展起來。

代數數域的基

整數基

設F為n次代數數域，F的整數基是任一由n個F-整數組成的集合：

$B=\{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}$

使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這n個F-整數的整線性組合，即：

$\forall x\in {\mathcal {O}}_{F},\;\;\exists !\;(m_{1},m_{2},\cdots ,m_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}$，使得$x=m_{1}b_{1}+m_{2}b_{2}+\cdots +m_{n}b_{n}.$

換句話說，整數基B是${\mathcal {O}}_{F}$作為自由$\mathbb {Z}$-模的基。給定F的一組整數基B，可以證明，所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合，即：

$\forall x\in F,\;\;\exists !\;(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}$，使得$x=q_{1}b_{1}+q_{2}b_{2}+\cdots +q_{n}b_{n}.$

這說明B是F作為n維$\mathbb {Q}$-向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數，故B名為整數基。此外可以證明，x是F-整數當且僅當所有$q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}$都是有理整數。

乘冪基

設F為n次代數數域。作為n維$\mathbb {Q}$-向量空間，F包含如下形式的基：

$B=\{1,\beta ,\beta ^{2},\cdots ,\beta ^{n-1}\}$

其中每個元素都是某個特定的數β的乘冪。根據域擴張理論中的本原元定理，這樣的β一定存在，稱為域擴張$\mathbb {Q} \subset F$的本原元。如果β不僅是本原元，還是F-整數，那麼這時B也是整數基，稱作乘冪整數基，稱F為單衍域（monogenic field）。

參見

• 狄利克雷單位定理, S-單位
• 庫默爾擴張
• 閔可夫斯基定理 幾何數論
• Chebotarev稠密定理
• 射線類群
• 分解群
• 虧格域

參考來源

• Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2 
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
• Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859 
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 
• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995