代數數域數學代數數論的基本概念,數域的一類,有時也被簡稱為數域,指有理數有限擴張形成的擴域[1][2]。任何代數數域都可以視作上的有限維向量空間

對代數數域的研究,或者更一般地說,對有理數域的代數擴張的研究,是代數數論的中心主題。

定義

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預備知識

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代數數域是的一類。域是裝備了兩個二元運算(通常稱之為「加法」、「乘法」)的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律交換律,完全可逆,同時乘法對加法滿足分配律(詳細定義參見)。域的一個重要的例子是有理數域 

域的擴張

域的擴張研究各類域之間的關係,最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的域F中加入不屬於此域的元素(一般以集合S記錄),規定相互間的運算法則後,「最小的」將它們都包含在內的域[N 1]L稱為「F(添加S中元素得到)的擴域」。稱FL的子域。一般將「FL的域擴張」記作FLL/F

向量空間

另一個基礎概念是向量空間。向量空間,特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣(具體定義參見向量空間條目)。以某個域F為係數域的向量空間(通常稱作F上的向量空間或F-向量空間),其中的向量除了可以相加減,還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件,稱為空間的。選定了空間的基以後,空間裡的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組 。其中的n是基中向量的個數,也稱為空間的維數。

有限擴張

L是域F的一個擴域。將L中的元素看作向量,以F作為係數域,可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的,就稱LF的有限擴張。L作為F-向量空間的維數,稱為擴張的次數,記作[L : F]

定義

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若域L是有理數域 的有限擴張,則稱之為代數數域[3]:3

例子

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最小最基本的代數數域是有理數域 。因為 自身是 -向量空間,維數是1。因此  自身的域擴張, 

高斯有理數 i虛數單位)是數學家發現的第一個非平凡代數數域的例子,它是所有形同:

 

的數構成的集合。可以證明, 是域,而且是 -向量空間,以 為基,空間維數是2。所以  的二次擴張, 

給定不是完全平方數正整數相反數不是完全平方數的負整數d二次域  中添加 d平方根而得的擴域。與高斯有理數域類似,可以證明  -向量空間,以 為基,空間維數是2,即 

考慮多項式方程 n個復根 ,它們被稱做n次單位根,具體可以寫作:

 

 中添加 得到的擴域稱為n次分圓域,記作 。可以證明 是有限維 -向量空間,維數為  是數論中的歐拉函數),即 

實數域 複數域 p進數域 都不是 的有限擴張,因此都不是代數數域。任何有限域都不是 的擴域,因此也不是代數數域。

全體規矩數構成的域 和全體代數數構成的域 (有時也被簡稱為代數數域,與本文主題同名,但不是同一個概念)不是 的有限擴張,因此都不是代數數域。

代數數域與代數數

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代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式(不是零多項式)的根的數。顯然所有的有理數都是代數數[N 2]。給定一個代數數域L,依定義,域擴張 是有限擴張。設其次數為正整數m[N 3]。將L看作是m -向量空間,在L中任意選一個不屬於 的數z,它可以被看作是m -向量空間中的一個(非零)向量。考慮以下的m + 1個向量:

 

它們都屬於L。根據向量空間的性質,它們是線性相關的。即存在不全為零的m + 1個有理數: ,使得:

 .

考慮非零多項式  ,即z是多項式 的根。所以z是代數數。由上可知,任一代數數域的元素都是代數數。

代數整數

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代數整數是指能夠成為某個首一整數係數多項式的根的數[3]:4。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整係數多項式X - n的根,因此是代數整數。給定代數數域FF中所有代數整數構成一個,稱作F中的(代數)整數環,也稱為F-整數環,記作 。例如 上的代數整數環就是 ,因此在代數數域研究中 也被稱作「有理整數」(有理數域中的整數),以區別於其餘的代數整數。

代數數域F中的整數環  有不同的代數性質。 不一定是唯一分解整環。舉例來說,設 F中的整數環是  都是 中的「素數」[N 4]。正整數6,作為 中的元素,它的素因數分解有兩種方式:

 

有理整數的唯一分解性質在不少代數數域的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補,由此發展出理想理論[4]。代數數論中一個重要的事實是: 的每個理想都可以唯一表示為素理想的乘積,即為戴德金整環。這種「理想的唯一素分解」可部分彌補「代數整數一般不能唯一素因子分解」的不足,在歷史上使代數數論發展起來[2]

代數數域的基

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整數基

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Fn次代數數域,F的整數基是任一由nF-整數組成的集合:

 

使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這nF-整數的整線性組合[N 5],即:

 ,使得 

換句話說,整數基B 作為自由 -的基。給定F的一組整數基B,可以證明,所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合,即:

 ,使得 

這說明BF作為n -向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數,故B名為整數基。此外可以證明,xF-整數當且僅當所有 都是有理整數。

乘冪基

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Fn次代數數域。作為n -向量空間,F包含如下形式的基:

 

其中每個元素都是某個特定的數β乘冪。根據域擴張理論中的本原元定理,這樣的β一定存在,稱為域擴張 的本原元。如果β不僅是本原元,還是F-整數,那麼這時B也是整數基,稱作乘冪整數基,稱F單衍域monogenic field)。

參見

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注釋

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  1. ^ 「最小的」指所有同時包含FS的域的交集
  2. ^ 任意有理數q都是一次多項式X - q的根。
  3. ^ 此處假設這個域擴張不是平凡的,即L不是 自身,也即是說假設m大於1。
  4. ^ 即不能表示成另兩個 中的不等於1或-1的數的乘積,正式名稱為不可約元素或素元。
  5. ^ 在不計順序的情況下。

參考來源

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  1. ^ 藍以中. 《高等代数简明教程》 第二版. 北京大學出版社. 2007年7月: 9. ISBN 978-7-301-05370-6. 
  2. ^ 2.0 2.1 張賢科. 代数数论介绍. 清華大學 數學科學系. [2014-05-26]. (原始內容存檔於2014-11-12). 
  3. ^ 3.0 3.1 David Hilbert. The Theory of Algebraic Number Fields. Springer(插圖版). 1998. ISBN 9783540627791. 
  4. ^ 康明昌. 費馬問題. 數學傳播. 第7卷第4期, 第8卷第1期. [2014-05-24]. (原始內容存檔於2017-05-14).