同構

同構（英語：Isomorphism）是一種線性變換，當T:V → W 是可逆時，這種線性變換就稱之為同構。

5次單位根的群和五邊形的對稱群是同構的。

在抽象代數中，同構指的是一個保持結構的雙射。在更一般的範疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的複合是一個恆等態射。

正式的表述是：同構是在數學對象之間定義的一類映射，它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關係。若兩個數學結構之間存在同構映射，那麼這兩個結構叫做是同構的。一般來說，如果忽略掉同構的對象的屬性或操作的具體定義，單從結構上講，同構的對象是完全等價的，也就是說，如果我們定義一個關係∼ ，使得只要V和W同構，那麼 V ∼ W ,可知 ∼ 是一個等價關係。

自同構(automorphism )是一個結構到其自身的同構。當兩個結構之間的同構是唯一的（例如滿足某種泛性質的解的情形），或者該同構相比其他同構更為自然（在某種意義上）時，這種同構被稱為典範同構（即一種作為同構的典範映射）。例如，對於每個素數 p，所有具有 p 個元素的域都是典範同構的，並且這種同構是唯一的。而同構定理提供了並非唯一的典範同構。

「同構」一詞主要用於代數結構。在這種情況下，映射被稱為同態(homomorphism)，且當且僅當一個同態是雙射時，它才是同構。

舉例

對數和指數函數

對數 $\log :R^{+}\to R$

$\log(xy)=\log(x)+\log(y)$

指數函數

$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$

複數及其共軛函數

$\sigma :C\to C$

$\sigma (z):x-iy$

模算數

$\mathbb {Z} _{6}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$

因為中國剩餘定理，若m, n是互質的，則

$\mathbb {Z} _{mn}\cong \mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$

引入同構的目的

在數學中研究同構的主要目的是為了把數學理論應用於不同的領域。如果兩個結構是同構的，那麼其上的對象會有相似的屬性和操作，對某個結構成立的命題在另一個結構上也就成立。因此，如果在某個數學領域發現了一個對象結構同構於某個結構，且對於該結構已經證明了很多定理，那麼這些定理馬上就可以應用到該領域。如果某些數學方法可以用於該結構，那麼這些方法也可以用於新領域的結構。這就使得理解和處理該對象結構變得容易，並往往可以讓數學家對該領域有更深刻的理解。

同構類

由於同構的複合仍是同構，恆等映射是同構，以及同構的逆映射也是同構，因此兩個數學對象是同構的這一關係是一個等價關係。由同構所確定的等價類通常稱為同構類 (isomorphism class)。

在數學中，同構類的例子非常豐富。

兩個集合是同構的，當且僅當它們之間存在一個雙射。有限集合的同構類可以用其包含元素的個數所表示的非負整數來標識。
有限維向量空間的同構類可以用其維數所表示的非負整數來標識。
有限單群的分類列舉了所有有限單群的同構類。
閉曲面的分類列舉了所有連通閉曲面的同構類。
序數本質上定義為良序集合的同構類（儘管其中涉及一些技術性問題）。

和相等的關係

儘管在某些情況下，同構的對象可以被視為相等，但必須區分相等和同構的概念。相等是指兩個對象完全相同，因此關於一個對象的所有性質對於另一個對象也都成立。另一方面，同構與某種結構相關，兩個同構的對象僅共享與該結構相關的性質。例如，這些集合 $A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}$ 是相等的；它們只是同一整數子集的不同表示方式——第一個是內涵式表示（通過集合生成符號），第二個是外延式表示（通過明確列舉）。相比之下，集合 $\{A,B,C\}$ 和 $\{1,2,3\}$ 並不相等，因為它們的元素不同。然而，作為集合，它們是同構的，但這種同構有許多選擇（實際上有 6 種）。其中一種同構是：

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,

另外一個是

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,

並且沒有一種同構本質上優於其他同構。從這個觀點和意義上來說，這兩個集合併不相等，因為它們不能被視為完全相同：可以在它們之間選擇一個同構，但這比相等性更弱，僅在所選擇的同構的上下文中有效。

此外，整數和偶數作為有序集合和阿貝爾群（對於加法）是同構的，但它們不能被視為相等的集合，因為其中一個是另一個的真子集。另一方面，當集合（或其他數學對象）僅通過其性質定義，而不考慮其元素的具體性質時，人們通常會將它們視為相等。這通常適用於滿足泛性質的解。例如，有理數通常被定義為整數對的等價類，儘管沒有人會將有理數視為一個集合（等價類）。有理數的泛性質本質上是：它們構成一個包含整數且不包含任何真子域的域。結果是，具有這些性質的兩個域之間存在唯一的域同構。這允許將這兩個域視為相同的，因為一個域的所有性質都可以通過同構傳遞到另一個域上。例如，通過在實數範圍內對兩個整數進行除法得到的實數，構成實數的最小子域。因此，從定義為整數對等價類的有理數到由兩個整數的商構成的有理數之間存在一個唯一的同構。這允許將這兩種有理數視為相同的。

參考資料

延伸閱讀

Mazur, Barry, When is one thing equal to some other thing? (PDF), 12 June 2007 [2019-04-01], （原始內容存檔 (PDF)於2019-10-24）

外部連結

Hazewinkel, Michiel (編), Isomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Isomorphism. PlanetMath.
埃里克·韋斯坦因. Isomorphism. MathWorld.

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