平方根

乘二次方的逆运算

數學中,一個數平方根指的是滿足的數,即平方結果等於的數。例如,4和-4都是16的平方根,因為

算術平方根的數學表示式

任意非負實數都有唯一的非負平方根,稱為算術平方根算術平方根(英語:principal square root),記為,其中的符號稱作根號。例如,9的算術平方根為3,記作 ,因為並且3非負。被求平方根的數稱作被開方數(英語:radicand),是根號下的數字或者表達式,即例子中的數字9。

正數有兩個互為相反數的平方根:正數與負數,可以將兩者一起記為

負數的平方根在複數系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其「平方根」(例如矩陣的平方根)。

  • 在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。

歷史

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耶魯大學的巴比倫藏品YBC 7289是一塊泥板,製作於前1800年前1600年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形,標註了 六十進制數字 1;24,51,10。[1]十六進制的 1;24,51,10 即十進制的 1.41421296,精確到了小數點後5位(1.41421356...)。

萊因德數學紙草書大約成書於前1650年,內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。[2]

古印度的《繩法經》大約成書於前800年前500年之間,書中記載了將2的平方根的計算精確到小數點後5位的方法。

古希臘的《幾何原本》大約成書於前380年,書中還闡述了如果正整數不是完全平方數,那麼它的平方根就一定是無理數——一種無法以兩個整數的比值表示的數(無法寫作m/n,其中mn是整數)。[3]

中國的《》成書於漢朝(約前202年前186年之間),書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。

古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。

中世紀時,拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母「L」被不少歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫,在被開方的數下畫一線。

最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);⎷(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小寫r的變型;後來數學家笛卡爾給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的(即「⎷‾」),因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫),從而形成了現在人們熟知的開方運算符號 

正數

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函數 圖,半拋物線與垂直準線。

 的平方根亦可用指數表示,如:

 

 絕對值可用 的算數平方根表示:

 

若正整數 平方數,則其平方根是整數。若正整數 不是平方數,則其平方根是無理數

對於正數  ,以下式成立:

 

負數與複數

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正數和負數的平方都是正數,0的平方是0,因此負數沒有實數平方根。然而,我們可以把我們所使用的數字集合擴大,加入負數的平方根,這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字,記作 (也可以記作 ,比如電學場景中 一般表示電流),稱之為虛數單位,定義即為 ,故 是-1的平方根,而且 ,所以 也是-1的平方根。通常稱-1的算術平方根是 ,如果 是任意非負實數,則 的算術平方根就是:

 

例如-5的平方根有兩個,它們分別為  

之所以等式右側(包括其對應的負值)是 的算術平方根,是因為:

 

負數的兩個平方根為一對共軛純虛數

對於負數  ,以下式成立:

 

虛數的算術平方根

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複數平面中, 的兩個平方根

虛數 的算術平方根可以根據以下公式計算:

 

這個公式可以通過用代數方法推導,只需找到特定的實數  ,滿足

 

就可以得到方程組

 

的解:

 

其中,算術平方根即為

 

這個公式還可以通過棣莫弗公式得到,設

 

就可以推出

 

複數的算術平方根

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極坐標下,複數 的幾個方根

對於任何一個非零的複數 都存在兩個複數 使得 

首先,我們將複數  看作是平面上的點,即笛卡爾坐標系中的 點。這個點也可以寫作極坐標 ,其中 ,是該點到坐標原點的距離, 則是從原點到該點的直線與實數坐標軸( 軸)的夾角。複分析中,通常把該點記作 。如果

 

那麼我們將 的算術平方根定義為:

 

因此,平方根函數除了在非正實數軸上以外是處處全純的。  的泰勒級數也適用於複數 

上面的公式還可以用三角函數的形式表達:

 

代數公式

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如果使用笛卡爾坐標的形式表達複數 z,其算術平方根可以使用如下公式:[4][5]

 

其中,方根虛部的符號與被開方數虛部的符號相同(為0時取正);主值英語Principal value實部永遠非負。

在虛數裡,平方根函數的值不是連續的,以下等式不一定成立:

  •  
  •  
  •  

所以這是錯誤的:

 

多項式

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例:若  

2的算術平方根

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數學史中,最重要的平方根可以說是 ,它代表邊長為1的正方形對角線長,是第一個公認的無理數,也叫畢達哥拉斯常數,其值到小數點14位約為1.4142135623731。

 是無理數,可由歸謬法證明:

  1.  有理數,可表示為 ,其中  互質之正整數。
  2. 因為 ,故 是2的倍數, 也是2的倍數,記為 ,其中 為正整數。
  3. 但是 ,故  是2的倍數, 也是2的倍數。
  4. 依上兩式,  都是2的倍數,和  為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證 不是有理數,即 是無理數。

計算方法

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因數計算

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注意,6 的質因數分解為 2 × 3,不能寫成某個數的平方,因此   就是最簡結果 。

中算開方

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北宋賈憲增乘開平方法

九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明釋鎖開平方法增乘開平方法明代數學家王素文程大位發明珠算開平方法,而朱載堉算學新說》首創用81位算盤開方,精確到25位數字[6]

長除式算法

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長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是 

  1. 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
  2. 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
  3. 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
  4. 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於但最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
  5. 記下的數一次隔兩位記下。
  6. 重覆第3步,直到找到答案。
  7. 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。

下面以 為例子:

 

 

四捨五入得答案為14.14。

事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見n次方算法

利用高精度長式除法可以計算出1至20的平方根如下:

    1
    1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
    1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
    2
    2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
    2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
    2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
    2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
    3
    3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
    3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
    3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
    3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
    3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
    3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
    4
    4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
    4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
    4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
    4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

牛頓法

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如果要求 的平方根,選取 

 

例子:求 至6位有效數字

 
 
 
 
 
 

因此 .

平方根可以簡便地用連分數的形式表示,關於連分數請見連分數,其中1至20的算術平方根分別可用連分數表示為:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

連分數部分均循環,省略號前為2或4個循環節。

巴比倫方法

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巴比倫求平方根的算法實際上很簡單:(假設要求一個數N的平方根)

  1. 預測一個平方根 ,初始另一個值 ,且 
  2. 求預測值與初始值的均值: ,  
  3. 比較  的差值是否達到精度,如果無,繼續步驟

重複的算術運算

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這個方法是從佩爾方程演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。

問題

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給定線段AB和1,求一條長為 的線段。

解法

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  1. 畫線AB,延長BAC使 
  2. BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
  3. ABC的垂直線,垂直線和圓弧交於DAD即為所求之長度

證明

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將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設

  • O= 
  • AB= 
  1. 直徑為BC的圓就是 (圓的方程式: )(其中 表示半徑。)
  2.  A,D所在的x座標)代入上面的方程式
  3.  
  4. 解方程,得 

另也可參見射影定理

 
射影定理(圖)

參見

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外部連結

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參考資料

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  1. ^ Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. (原始內容存檔於2020-03-12). 
  2. ^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
  3. ^ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3. 
  4. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. (原始內容存檔於2016-04-23). , Section 3.7.27, p. 17 網際網路檔案館存檔,存檔日期2009-09-10.
  5. ^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. (原始內容存檔於2016-04-23). 
  6. ^ 勞漢生《珠算與實用算術》ISBN 7-5375-1891-2/O