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梅森素數與完全數集合

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梅森素數與完全數是數論里關係密切的自然數。梅森素數以數學家、神學家、修士馬蘭·梅森命名，是能以2甲－1表示、且甲為正整數的質數，如梅森素數3就能寫成22－1[1][2]。梅森素數在上述表達式對應的數甲一定是質數，但甲是質數不代表得出的結果就是梅森素數，如211－1＝2047＝23×89[3]。完全數是等於真因數之和的自然數，真因數即自然數除自身外的因數。如6就是完全數，因數分別是1、2、3、6且1＋2＋3＝6。[2][4]

6是完全數
20世紀下半葉起已知最大質數位數對數圖，這些已知最大質數大多是梅森素數

根據歐幾里得部分證明、萊昂哈德·歐拉完全證明的歐幾里得－歐拉定理可知梅森素數與已知完全數一一對應：只有能換算成公式2甲－1×（2甲－1），且2甲 − 1是梅森素數的偶數是完全數。以甲＝2為例，22－1＝3為質數，22－1×（22－1）＝2×3＝6為完全數。[1][5][6]

梅森素數與完全數是否無窮盡目前還是未解決的數學問題[2][6]，倫斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主題便是梅森素數頻率，推斷比x小的梅森素數期望個數為（eγ/log2）×log log x，其中e是歐拉數，γ是歐拉常數，log是自然對數[7][8][9]。已經發現的完全數都是偶數，但尚未排除存在奇數完全數的可能。已證明奇完全數必滿足某些條件，如不小於101500[10]。

下表列出所有已知梅森素數、完全數及對應指數甲。截至2021年10月共發現51個梅森素數（及對應完全數），最大17個均由互聯網梅森素數大搜索分布式計算項目發現。[2]新梅森素數是用盧卡斯－萊默檢驗法發現，這種梅森素數素性測試可用於二進制計算機[2]。

數字按從小到大排列，如果新發現比現有結果小的梅森素數則插入中間。序號後面的問號說明尚待驗證。截至2021年10月，互聯網梅森素數大搜索已經計算至甲＝5820萬4879，即第48個梅森素數以前的所有自然數均已驗證。[11]發現時間和發現人均指梅森素數，完全數按歐幾里得－歐拉定理計算。發現人列為「互聯網梅森素數大搜索：姓名」說明此人擁有的設備採用互聯網梅森素數大搜索找到該數。除前八個不超過十位外，後面的結果都非常長，最長的已有數千萬位；下表僅列出前後各六位，中間以省略號表示。

梅森素數與完全數集合

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  GIMPS發現的梅森素數

  最小未驗證梅森素數

  梅森猜測的梅森質數

  古代知道的梅森素數

  拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯發現的梅森素數

  唐納德·吉利斯發現的梅森質數

  大衛·斯洛文斯基發現的梅森素數

下表列出了所有已知的梅森素數：  A000668

下表列出了所有已知的梅森素數指數：  A000043

序 甲 梅森素數 梅森素數位數 對應完全數 完全數位數 發現時間 發現人 發現方法 參考[12]
1 2 3 1 6 1 古代[注 1] 古希臘數學家已經知曉 人手計算 [13][14][15]
2 3 7 1 28 2 [13][14][15]
3 5 31 2 496 3 [13][14][15]
4 7 127 3 8128 4 [13][14][15]
5 13 8191 4 33550336 8 約1456年[注 2] 不明[注 3] 試除法 [14][15]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588年[注 2] 皮特羅·卡塔爾迪 [2][18]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][18]
8 31 21億4748萬3647 10 230584……952128 19 1772年 萊昂哈德·歐拉 [19]
9 61 230京5843兆0092億1369萬3951 19 265845……842176 37 1883年11月 伊萬·波佛辛 盧卡斯數列 [20]
10 89 618970……562111 27 191561……169216 54 1911年6月 拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯 盧卡斯數列 [21]
11 107 162259……288127 33 131640……728128 65 1914年6月 [22]
12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 144740……152128 77 1876年1月 愛德華·盧卡斯 盧卡斯數列 [23]
13 521 686479……057151 157 235627……646976 314 1952年1月 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 [24]
14 607 531137……728127 183 141053……328128 366 [24]
15 1279 104079……729087 386 541625……291328 770 1952年6月 [25]
16 2203 147597……771007 664 108925……782528 1327 1952年10月 [26]
17 2281 446087……836351 687 994970……915776 1373 [26]
18 3217 259117……315071 969 335708……525056 1937 1957年9月 漢斯·黎瑟爾 [27]
19 4253 190797……484991 1281 182017……377536 2561 1961年11月 亞歷山大·赫維茨 [28]
20 4423 285542……580607 1332 407672……534528 2663 [28]
21 9689 478220……754111 2917 114347……577216 5834 1963年5月 唐納德·吉利斯 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 [29]
22 9941 346088……463551 2993 598885……496576 5985 [29]
23 11213 281411……392191 3376 395961……086336 6751 1963年6月 [29]
24 19937 431542……041471 6002 931144……942656 12003 1971年3月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 布萊恩特·塔克曼 [30]
25 21701 448679……882751 6533 100656……605376 13066 1978年10月 藍登·克特·諾爾、勞拉·尼克爾 [31]
26 23209 402874……264511 6987 811537……666816 13973 1979年2月 藍登·克特·諾爾 [31]
27 44497 854509……228671 13395 365093……827456 26790 1979年4月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 哈里·尼爾森、大衛·斯洛文斯基 [32][33]
28 86243 536927……438207 25962 144145……406528 51924 1982年9月 大衛·斯洛文斯基 [34]
29 11萬0503 521928……515007 33265 136204……862528 66530 1988年1月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 沃爾特·科爾奎特、盧克·韋爾什 [35][36]
30 13萬2049 512740……061311 39751 131451……550016 79502 1983年9月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 大衛·斯洛文斯基等人（克雷公司） [37]
31 21萬6091 746093……528447 65050 278327……880128 13萬0100 1985年9月 [38][39]
32 75萬6839 174135……677887 22萬7832 151616……731328 45萬5663 1992年2月 [40]
33 85萬9433 129498……142591 25萬8716 838488……167936 51萬7430 1994年1月 [41]
34 125萬7787 412245……366527 37萬8632 849732……704128 75萬7263 1996年9月 [42][43]
35 139萬8269 814717……315711 42萬0921 331882……375616 84萬1842 1996年11月 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 互聯網梅森素數大搜索：喬爾·阿蒙古德 [44]
36 297萬6221 623340……201151 89萬5932 194276……462976 179萬1864 1997年8月 互聯網梅森素數大搜索：戈登·斯彭斯 [45]
37 302萬1377 127411……694271 90萬9526 811686……457856 181萬9050 1998年1月 互聯網梅森素數大搜索：羅蘭·克拉克森 [46]
38 697萬2593 437075……193791 209萬8960 955176……572736 419萬7919 1999年6月 互聯網梅森素數大搜索：納揚·哈吉拉特瓦拉 [47]
39 1346萬6917 924947……259071 405萬3946 427764……021056 810萬7892 2001年11月 互聯網梅森素數大搜索：邁克爾·卡梅隆 [48]
40 2099萬6011 125976……682047 632萬0430 793508……896128 1264萬0858 2003年11月 互聯網梅森素數大搜索：邁克爾·謝弗 [49]
41 2403萬6583 299410……969407 723萬5733 448233……950528 1447萬1465 2004年5月 互聯網梅森素數大搜索：喬希·芬德利 [50]
42 2596萬4951 122164……077247 781萬6230 746209……088128 1563萬2458 2005年2月 互聯網梅森素數大搜索：馬丁·諾瓦克 [51]
43 3040萬2457 315416……943871 915萬2052 497437……704256 1830萬4103 2005年12月 互聯網梅森素數大搜索：柯蒂斯·庫珀、史蒂文·布恩 [52]
44 3258萬2657 124575……967871 980萬8358 775946……120256 1961萬6714 2006年9月 [53]
45 3715萬6667 202254……220927 1118萬5272 204534……480128 2237萬0543 2008年9月 互聯網梅森素數大搜索：漢斯－邁克爾·埃爾維尼奇 [54]
46 4264萬3801 169873……314751 1283萬7064 144285……253376 2567萬4127 2009年6月 互聯網梅森素數大搜索：奧德·麥格納·斯特林莫 [55]
47 43112609 316470……152511 1297萬8189 500767……378816 2595萬6377 2008年8月 互聯網梅森素數大搜索：埃德森·史密斯 [54][56]
48 5788萬5161 581887……285951 1742萬5170 169296……130176 3485萬0340 2013年1月 互聯網梅森素數大搜索：柯蒂斯·庫珀 [57][58]
不適用 6868萬9253 最低未驗證里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]
49？ 7420萬7281 300376……436351 2233萬8618 451129……315776 4467萬7235 2016年1月 互聯網梅森素數大搜索：柯蒂斯·庫珀 計算機採用盧卡斯－萊默檢驗法 [59][60]
50？ 7723萬2917 467333……179071 2324萬9425 109200……301056 4649萬8850 2017年12月 互聯網梅森素數大搜索：喬納森·佩斯 [61][62]
51？ 8258萬9933 148894……902591 2486萬2048 110847……207936 4972萬4095 2018年12月 互聯網梅森素數大搜索：帕特里克·拉羅什 [63][64]
不適用 1億1748萬5899 最低未測試里程碑（截至西元2024年6月23日）[注 4]

注釋

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  1. ^ 尼科馬庫斯100年左右記下前四個完全數，歐幾里得的《幾何原本》便有完全數、梅森素數的定義和實例，但具體發現年代已不可考。
  2. ^ 2.0 2.1 伊斯蘭數學家伊斯梅爾·伊本·易卜拉欣·伊本·費盧斯等人可能比歐洲人更早發現第五到第七個完全數[16]。
  3. ^ 手稿註明年份1456至1461但沒有署名，現存巴伐利亞國立圖書館，編碼「Clm 14908」[14][17]。
  4. ^ 4.0 4.1 截至2021年10月[11]。

參考資料

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外部連結

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