梅森質數與完全數集合
梅森質數與完全數是數論里關係密切的自然數。梅森質數以數學家、神學家、修士馬蘭·梅森命名,是能以2甲-1表示、且甲為正整數的質數,如梅森質數3就能寫成22-1[1][2]。梅森質數在上述表達式對應的數甲一定是質數,但甲是質數不代表得出的結果就是梅森質數,如211-1=2047=23×89[3]。完全數是等於真因數之和的自然數,真因數即自然數除自身外的因數。如6就是完全數,因數分別是1、2、3、6且1+2+3=6。[2][4]
根據歐幾里得部分證明、萊昂哈德·歐拉完全證明的歐幾里得-歐拉定理可知梅森質數與已知完全數一一對應:只有能換算成公式2甲-1×(2甲-1),且2甲 − 1是梅森質數的偶數是完全數。以甲=2為例,22-1=3為質數,22-1×(22-1)=2×3=6為完全數。[1][5][6]
梅森質數與完全數是否無窮盡目前還是未解決的數學問題[2][6],倫斯特拉-波默朗斯-瓦格斯塔夫猜想的主題便是梅森質數頻率,推斷比x小的梅森質數期望值個數為(eγ/log2)×log log x,其中e是歐拉數,γ是歐拉常數,log是自然對數[7][8][9]。已經發現的完全數都是偶數,但尚未排除存在奇數完全數的可能。已證明奇完全數必滿足某些條件,如不小於101500[10]。
下表列出所有已知梅森質數、完全數及對應指數甲。截至2021年10月共發現51個梅森質數(及對應完全數),最大17個均由網際網路梅森質數大搜索分布式計算項目發現。[2]新梅森質數是用盧卡斯-萊默檢定法發現,這種梅森質數質數測試可用於二進制計算機[2]。
數字按從小到大排列,如果新發現比現有結果小的梅森質數則插入中間。序號後面的問號說明尚待驗證。截至2021年10月,網際網路梅森質數大搜索已經計算至甲=5820萬4879,即第48個梅森質數以前的所有自然數均已驗證。[11]發現時間和發現人均指梅森質數,完全數按歐幾里得-歐拉定理計算。發現人列為「網際網路梅森質數大搜索:姓名」說明此人擁有的設備採用網際網路梅森質數大搜索找到該數。除前八個不超過十位外,後面的結果都非常長,最長的已有數千萬位;下表僅列出前後各六位,中間以省略號表示。
梅森質數與完全數集合
編輯GIMPS發現的梅森質數
最小未驗證梅森質數
梅森猜測的梅森質數
古代知道的梅森質數
拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯發現的梅森質數
唐納德·吉利斯發現的梅森質數
大衛·斯洛文斯基發現的梅森質數
下表列出了所有已知的梅森質數: A000668
下表列出了所有已知的梅森質數指數: A000043
序 | 甲 | 梅森質數 | 梅森質數位數 | 對應完全數 | 完全數位數 | 發現時間 | 發現人 | 發現方法 | 參考[12] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 1 | 6 | 1 | [注 1] | 古代古希臘數學家已經知曉 | 人手計算 | [13][14][15] |
2 | 3 | 7 | 1 | 28 | 2 | [13][14][15] | |||
3 | 5 | 31 | 2 | 496 | 3 | [13][14][15] | |||
4 | 7 | 127 | 3 | 8128 | 4 | [13][14][15] | |||
5 | 13 | 8191 | 4 | 33550336 | 8 | [注 2] | 約1456年不明[注 3] | 試除法 | [14][15] |
6 | 17 | 131071 | 6 | 8589869056 | 10 | 1588年[注 2] | 皮特羅·卡達迪 | [2][18] | |
7 | 19 | 524287 | 6 | 137438691328 | 12 | [2][18] | |||
8 | 31 | 21億4748萬3647 | 10 | 230584……952128 | 19 | 1772年 | 萊昂哈德·歐拉 | [19] | |
9 | 61 | 230京5843兆0092億1369萬3951 | 19 | 265845……842176 | 37 | 1883年11月 | 伊萬·波佛辛 | 盧卡斯數列 | [20] |
10 | 89 | 618970……562111 | 27 | 191561……169216 | 54 | 1911年6月 | 拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯 | 盧卡斯數列 | [21] |
11 | 107 | 162259……288127 | 33 | 131640……728128 | 65 | 1914年6月 | [22] | ||
12 | 127 | 170141183460469231731687303715884105727 | 39 | 144740……152128 | 77 | 1876年1月 | 愛德華·盧卡斯 | 盧卡斯數列 | [23] |
13 | 521 | 686479……057151 | 157 | 235627……646976 | 314 | 1952年1月 | 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | [24] |
14 | 607 | 531137……728127 | 183 | 141053……328128 | 366 | [24] | |||
15 | 1279 | 104079……729087 | 386 | 541625……291328 | 770 | 1952年6月 | [25] | ||
16 | 2203 | 147597……771007 | 664 | 108925……782528 | 1327 | 1952年10月 | [26] | ||
17 | 2281 | 446087……836351 | 687 | 994970……915776 | 1373 | [26] | |||
18 | 3217 | 259117……315071 | 969 | 335708……525056 | 1937 | 1957年9月 | 漢斯·黎瑟爾 | [27] | |
19 | 4253 | 190797……484991 | 1281 | 182017……377536 | 2561 | 1961年11月 | 亞歷山大·赫維茨 | [28] | |
20 | 4423 | 285542……580607 | 1332 | 407672……534528 | 2663 | [28] | |||
21 | 9689 | 478220……754111 | 2917 | 114347……577216 | 5834 | 1963年5月 | 唐納德·吉利斯 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | [29] |
22 | 9941 | 346088……463551 | 2993 | 598885……496576 | 5985 | [29] | |||
23 | 11213 | 281411……392191 | 3376 | 395961……086336 | 6751 | 1963年6月 | [29] | ||
24 | 19937 | 431542……041471 | 6002 | 931144……942656 | 12003 | 1971年3月 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | 布萊恩特·塔克曼 | [30] |
25 | 21701 | 448679……882751 | 6533 | 100656……605376 | 13066 | 1978年10月 | 藍登·克特·諾爾、蘿拉·尼克爾 | [31] | |
26 | 23209 | 402874……264511 | 6987 | 811537……666816 | 13973 | 1979年2月 | 藍登·克特·諾爾 | [31] | |
27 | 44497 | 854509……228671 | 13395 | 365093……827456 | 26790 | 1979年4月 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | 哈里·尼爾森、大衛·斯洛文斯基 | [32][33] |
28 | 86243 | 536927……438207 | 25962 | 144145……406528 | 51924 | 1982年9月 | 大衛·斯洛文斯基 | [34] | |
29 | 11萬0503 | 521928……515007 | 33265 | 136204……862528 | 66530 | 1988年1月 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | 沃爾特·科爾奎特、盧克·韋爾什 | [35][36] |
30 | 13萬2049 | 512740……061311 | 39751 | 131451……550016 | 79502 | 1983年9月 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | 大衛·斯洛文斯基等人(克雷公司) | [37] |
31 | 21萬6091 | 746093……528447 | 65050 | 278327……880128 | 13萬0100 | 1985年9月 | [38][39] | ||
32 | 75萬6839 | 174135……677887 | 22萬7832 | 151616……731328 | 45萬5663 | 1992年2月 | [40] | ||
33 | 85萬9433 | 129498……142591 | 25萬8716 | 838488……167936 | 51萬7430 | 1994年1月 | [41] | ||
34 | 125萬7787 | 412245……366527 | 37萬8632 | 849732……704128 | 75萬7263 | 1996年9月 | [42][43] | ||
35 | 139萬8269 | 814717……315711 | 42萬0921 | 331882……375616 | 84萬1842 | 1996年11月 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | 網際網路梅森質數大搜索:喬爾·阿蒙古德 | [44] |
36 | 297萬6221 | 623340……201151 | 89萬5932 | 194276……462976 | 179萬1864 | 1997年8月 | 網際網路梅森質數大搜索:戈登·斯彭斯 | [45] | |
37 | 302萬1377 | 127411……694271 | 90萬9526 | 811686……457856 | 181萬9050 | 1998年1月 | 網際網路梅森質數大搜索:羅蘭·克拉克森 | [46] | |
38 | 697萬2593 | 437075……193791 | 209萬8960 | 955176……572736 | 419萬7919 | 1999年6月 | 網際網路梅森質數大搜索:納揚·哈吉拉特瓦拉 | [47] | |
39 | 1346萬6917 | 924947……259071 | 405萬3946 | 427764……021056 | 810萬7892 | 2001年11月 | 網際網路梅森質數大搜索:麥可·卡梅隆 | [48] | |
40 | 2099萬6011 | 125976……682047 | 632萬0430 | 793508……896128 | 1264萬0858 | 2003年11月 | 網際網路梅森質數大搜索:麥可·謝弗 | [49] | |
41 | 2403萬6583 | 299410……969407 | 723萬5733 | 448233……950528 | 1447萬1465 | 2004年5月 | 網際網路梅森質數大搜索:喬希·芬德利 | [50] | |
42 | 2596萬4951 | 122164……077247 | 781萬6230 | 746209……088128 | 1563萬2458 | 2005年2月 | 網際網路梅森質數大搜索:馬丁·諾瓦克 | [51] | |
43 | 3040萬2457 | 315416……943871 | 915萬2052 | 497437……704256 | 1830萬4103 | 2005年12月 | 網際網路梅森質數大搜索:柯蒂斯·庫珀、史蒂文·布恩 | [52] | |
44 | 3258萬2657 | 124575……967871 | 980萬8358 | 775946……120256 | 1961萬6714 | 2006年9月 | [53] | ||
45 | 3715萬6667 | 202254……220927 | 1118萬5272 | 204534……480128 | 2237萬0543 | 2008年9月 | 網際網路梅森質數大搜索:漢斯-麥可·埃爾維尼奇 | [54] | |
46 | 4264萬3801 | 169873……314751 | 1283萬7064 | 144285……253376 | 2567萬4127 | 2009年6月 | 網際網路梅森質數大搜索:奧德·麥格納·斯特林莫 | [55] | |
47 | 43112609 | 316470……152511 | 1297萬8189 | 500767……378816 | 2595萬6377 | 2008年8月 | 網際網路梅森質數大搜索:埃德森·史密斯 | [54][56] | |
48 | 5788萬5161 | 581887……285951 | 1742萬5170 | 169296……130176 | 3485萬0340 | 2013年1月 | 網際網路梅森質數大搜索:柯蒂斯·庫珀 | [57][58] | |
不適用 | 6868萬9253 | 最低未驗證里程碑(截至西元2024年6月23日)[注 4] | |||||||
49? | 7420萬7281 | 300376……436351 | 2233萬8618 | 451129……315776 | 4467萬7235 | 2016年1月 | 網際網路梅森質數大搜索:柯蒂斯·庫珀 | 計算機採用盧卡斯-萊默檢定法 | [59][60] |
50? | 7723萬2917 | 467333……179071 | 2324萬9425 | 109200……301056 | 4649萬8850 | 2017年12月 | 網際網路梅森質數大搜索:喬納森·佩斯 | [61][62] | |
51? | 8258萬9933 | 148894……902591 | 2486萬2048 | 110847……207936 | 4972萬4095 | 2018年12月 | 網際網路梅森質數大搜索:派屈克·拉羅什 | [63][64] | |
不適用 | 1億1748萬5899 | 最低未測試里程碑(截至西元2024年6月23日)[注 4] |
注釋
編輯參考資料
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